กลศาสตร์ควอนตัม คืออะไร?
กลศาสตร์ควอนตัม
กลศาสตร์ควอนตัม (English: quantum mechanics) เป็นสาขาหนึ่งในทฤษฎีรากฐานของฟิสิกส์ ที่มีความสามารถในการอธิบายผลการทดลองต่างๆ และถูกใช้แทนที่กลศาสตร์นิวตัน (หรือกลศาสตร์ดั้งเดิม) และ กลศาสตร์ไฟฟ้าของแม็กซ์เวลล์ (หรือทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้า) ซึ่งกลศาสตร์ดั้งเดิมเหล่านี้ไม่สามารถใช้อธิบายปรากฏการณ์ในวัตถุที่มีขนาดเล็กกว่าอะตอม แต่กลศาสตร์ควอนตัมนั้นสามารถคำนวณได้แม่นยำมากกว่า โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อขนาดของวัตถุที่สนใจนั้นเล็กถึงขนาดอะตอม จึงกล่าวได้ว่ากลศาสตร์ควอนตัมนั้นเป็นรากฐานเบื้องต้นของฟิสิกส์ที่มีความสำคัญมากกว่ากลศาสตร์นิวตันและกลศาสตร์ไฟฟ้าของแม็กซ์เวลล์ หรือใกล้เคียงกับความจริงมากกว่านั่นเอง
พีชคณิตเชิงเส้น
การประยุกต์ใช้อย่างหนึ่งของพีชคณิตเชิงเส้นคือการแก้ระบบสมการเชิงเส้นหลายตัวแปร กรณีที่ง่ายที่สุดคือเมื่อมีจำนวนที่ไม่ทราบค่า (ตัวแปร) เท่ากับจำนวนของสมการ ดังนั้นเราสามารถแก้ปัญหาระบบสมการเชิงเส้น "n" สมการ สำหรับจำนวนที่ไม่ทราบค่า "n" ตัว 
ประวัติของ พีชคณิตเชิงเส้นสมัยใหม่ เริ่มต้นในช่วงยุคปี ค.ศ. 1840 โดยในปี ค.ศ. 1843 วิลเลียม โรวาล ฮามิลทัน (William Rowan Hamilton) ได้เสนอแนวคิดเรื่อง ควาเทอร์เนียน (quaternion) เพื่อใช้ในการอธิบายกลศาสตร์ในปริภูมิสามมิติ ต่อมาในปี ค.ศ. 1844 เฮอร์มาน กราสมาน (Hermann Grassmann) ได้ตีพิมพ์หนังสือของเขาในชื่อ "Die lineale Ausdehnungslehre" หลังจากนั้นในปี ค.ศ. 1857 อาเทอร์ เคลเลย์ (Arthur Cayley) ก็ได้เสนอแนวคิดเกี่ยวกับเมทริกซ์ ซึ่งเป็นหนึ่งในพื้นฐานสำคัญของแนวความคิดเกี่ยวกับพีชคณิตเชิงเส้น แม้แนวความคิดเหล่านี้จะถูกนำเสนอตั้งแต่ในช่วงเวลานั้น แต่การพัฒนาพีชคณิตเชิงเส้นอย่างจริงจังนั้นเริ่มต้นในช่วงหลังปี ค.ศ. 1900 และกลายเป็นหัวข้อที่ได้รับการสนใจจากกลุ่มนักคณิตศาสตร์นานาชาติ จนกลายเป็นสมาคม ควาเทอร์เนียน โซไซตี (Quanternion Society (ค.ศ. 1899-1913)) ซึ่งถือเป็น สมาคมคณิตศาสตร์นานาชาติ กลุ่มแรก ๆ โดยสนใจศึกษาแนวความคิดในเรื่อง "allied systems of mathematics". ควอนตัมดอต
เมื่อได้รับการกระตุ้นจากภายนอกอย่างมีประสิทธิภาพเพียงพอ สามารถทำให้อิเล็กตรอนกระโดดจากชั้นนอกสุดที่มีอิเล็กตรอนอยู่ หรือ เวเลนซ์ แบนด์ (valence band) ไปสู่ชั้นวางเปล่าที่เรียกว่า คอนดัคชัน แบนด์ (conduction band) ทำให้เกิดหลุมบวก (positively charged hole) ใน เวเลนซ์ แบนด์ และมีจำนวนอิเล็กตรอนเพิ่มมากขึ้นใน คอนดัคชัน แบนด์ ปรากฏการณ์นี้เรียกว่า เอกซิตอน (exciton) และระยะห่างระหว่าง หลุมบวก และ อิเล็กตรอน เรียกว่า รัศมี เอกซิตอน บอร์ห (exciton bohr radius) โดยระยะห่างอันนี้จะแตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับชนิดของ ควอนตัมดอต ระดับพลังงานในวัสดุชนิดนี้ไม่ต่อเนื่อง แต่จะอยู่เป็นชั้นๆ (discrete) และระยะห่างของระดับพลังงานน้อยที่สุดที่เป็นไปได้ ถูกกำหนดโดยการกีดกันทางควอนตัม (quantum confinement) มักซ์ บอร์น
ค.ศ. 1926 เขาได้ร่วมงานกับ โวล์ฟกัง เพาลี และ แวร์เนอร์ ไฮเซนแบร์ก เพื่อสร้างทฤษฎีควอนตัม และเขาก็ได้พิสูจน์ให้ไฮเซนแบร์ก เห็นว่าคณิตศาสตร์ที่ไฮเซนแบร์กใช้นั้น คือ สิ่งที่นักคณิตศาสตร์เรียกว่า เมทริกซ์ (matrix) จากนั้นเขา Pascual Jordan และไฮเซนแบร์กได้ร่วมกันปรับปรุงทฤษฎีกลศาสตร์ควอนตัมที่ใช้เมทริกซ์ในการคำนวณให้เป็นระบบยิ่งขึ้น และผลที่ได้จากทฤษฎีนี้คือ ในโลกของอะตอม การทำนายผลต่างๆ จะอยู่ในลักษณะของโอกาสความเป็นไปได้ เช่น โอกาสการพบอิเล็กตรอน ณ ตำแหน่งต่างๆ จะขึ้นกับแอมพลิจูดของฟังก์ชันคลื่นที่ตำแหน่งและเวลานั้นๆ เป็นต้น บ่อศักย์แบบลึกจำกัด
บ่อศักย์แบบลึกจำกัด หรือ บ่อศักย์แบบความกว้างจำกัด เป็นแนวคิดจากกลศาสตร์ควอนตัม โดยเป็นส่วนขยายของบ่อศักย์แบบอนันต์ซึ่งเป็นอนุภาคที่ถูกกักขังอยู่ในกล่องแต่ในที่นี้เป็นแบบที่มีความลึกจำกัด และแตกต่างจากแบบลึกอนันต์ตรงที่มีโอกาสที่จะพบอนุภาคที่อยู่ภายนอกกล่อง การตีความแบบกลควอนตัมจะแตกต่างจากการตีความแบบคลาสสิก คือ ถ้าพลังงานทั้งหมดของอนุภาคน้อยกว่าพลังงานศักย์กีดขวางของผนัง อนุภาคจะไม่สามารถพบอยู่ภายนอกกล่องได้ แต่ในการตีความแบบควอนตัม จะมีความน่าจะเป็นของอนุภาคที่อยู่ภายนอกกล่องที่ไม่เป็นศูนย์ ถึงแม้พลังงานของอนุภาคจะน้อยกว่าพลังงานศักย์กีดขวางของผนัง  อนุภาคย่อยของอะตอม
โดยผ่านการทำงานของ Albert Einstein, หลุยส์ de Broglie และคนอื่น ๆ อีกมากมาย ทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์ในปัจจุบันถือว่าทุกอนุภาคก็มีธรรมชาติของคลื่นเช่นกัน ทฤษฎีนี้มีการตรวจสอบไม่เพียงสำหรับอนุภาคมูลฐานเท่านั้น แต่ยังสำหรับอนุภาคผสมเช่นอะตอมและแม้กระทั่งโมเลกุล ในความเป็นจริง ตามรูปแบบการรวมตัวดั้งเดิมของกลศาสตร์ควอนตัมที่ไม่สัมพันธ์กัน () ทวิภาคของคลื่นกับอนุภาคจะนำไปใช้กับวัตถุทั้งหมด แม้แต่วัตถุแบบที่มองไม่เห็นด้วยตาเปล่า; แม้ว่าคุณสมบัติแบบที่เป็นคลื่นของวัตถุที่มองไม่เห็นด้วยตาเปล่านั้นจะไม่สามารถถูกตรวจพบได้เนื่องจากการความยาวคลื่นที่มีขนาดเล็กของพวกมัน กลศาสตร์ดั้งเดิม
กลศาสตร์ดั้งเดิมเป็นการประมาณการของคลื่นที่มีความที่สูงมากและเท่าเดิมตลอดดั่งทัศนศาสตร์เรขาคณิต ซึ่งมักจะมีความถูกต้องเพราะมันอธิบายอนุภาคและวัตถุที่มวลหยุดนิ่ง ซึ่งมีโมเมนตัมมากกว่าและดังนั้นความยาวคลื่นเดอบรอยสั้นกว่าอนุภาคที่ไม่มีมวล เช่น แสงที่มีพลังงานจลน์เท่าเดิม อะตอม
การทดลองของสเติร์น-เกอร์แลค ในปี ค.ศ. 1922 ทำให้เรามีหลักฐานเกี่ยวกับลักษณะความเป็นควอนตัมของอะตอม เมื่อลำอนุภาคอะตอมของเงินวิ่งผ่านสนามแม่เหล็กที่มีรูปร่างเฉพาะอย่างหนึ่ง ลำอนุภาคนั้นจะแยกออกไปในทิศทางของโมเมนตัมเชิงมุมของอะตอม หรือตามสปิน เนื่องจากทิศทางนี้เกิดขึ้นแบบสุ่ม จึงคาดการณ์ว่าลำอนุภาคจะแยกออกเป็นเส้น ทว่าลำอนุภาคกลับแยกออกเป็นสองส่วนเท่านั้นตามทิศทางสปินของอะตอมว่าเป็นแบบขึ้นหรือแบบลง[33] แอลัน ทัวริง
ในสมัยมัธยม ทัวริงสนิทและนับถือรุ่นพี่คนหนึ่งชื่อ คริสโตเฟอร์ มอร์คอม (Christopher Morcom) ซึ่งเสียชีวิตไปเสียก่อน ทัวริงเศร้ามาก เลยตั้งใจสานต่อสิ่งที่รุ่นพี่เขาอยากทำให้สำเร็จ ตลอดสามปีหลังจากนั้น เขาเขียนจดหมายอย่างสม่ำเสมอให้คุณแม่ของมอร์คอม ว่าเขาคิดและสงสัยเรื่องความคิดของคนว่าไปจับจดอยู่ในเรื่องหนึ่ง ๆ ได้อย่างไร (how the human mind was embodied in matter) และปล่อยเรื่องนั้น ๆ ออกไปได้อย่างไร (whether accordingly it could be released from matter) แล้ววันหนึ่งเขาก็ไปเจอหนังสือดังในยุคนั้นชื่อ "The Nature of the Physical World" อ่านไปก็เกิดนึกไปเองว่าทฤษฏีกลศาสตร์ควอนตัมมันต้องเกี่ยวกับปัญหาเรื่อง mind and matter ที่เขาคิดอยู่ ทฤษฎีควอนตัม
โตโต้ และโอชิ อะตอม
ปี ค.ศ. 1803 อาจารย์ชาวอังกฤษและนักปรัชญาธรรมชาติ จอห์น ดอลตัน (John Dalton) ใช้แนวคิดของอะตอมมาอธิบายว่าทำไมธาตุต่าง ๆ จึงมีปฏิกิริยาเป็นสัดส่วนของจำนวนเต็มเล็กที่สุดเสมอ คือ กฎสัดส่วนพหุคูณ (law of multiple proportion) และทำไมก๊าซบางชนิดจึงสลายตัวในน้ำได้ดีกว่าสารละลายอื่น เขาเสนอว่าธาตุแต่ละชนิดประกอบด้วยอะตอมชนิดเดียวกันที่ไม่เหมือนใคร และอะตอมเหล่านี้สามารถรวมตัวเข้าด้วยกันได้กลายเป็นสารประกอบทางเคมี[16][17] สิ่งที่ดอลตันกำลังคำนึงถึงนี้เป็นจุดกำเนิดแรกเริ่มของทฤษฎีอะตอมยุคใหม่[18] ความโน้มถ่วงเชิงควอนตัม
ทฤษฎีโน้มถ่วงเชิงควอนตัม () เป็นทฤษฎีที่พยายามรวม กลศาสตร์ควอนตัม ซึ่งอธิบายแรงพื้นฐาน สามแรงคือ แรงแม่เหล็กไฟฟ้า แรงนิวเคลียร์แบบเข้ม และแรงนิวเคลียร์แบบอ่อน เข้ากับ ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปของไอน์สไตน์ ซึ่งใช้อธิบายแรงโน้มถ่วง เป้าหมายของทฤษฎีนี้ก็คือ การอธิบายทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปในระดับพลังงานสูง และ ทฤษฎีควอนตัมในระดับสเกลใหญ่ภายใต้กฎหนึ่งเดียวเป็นทฤษฎีแห่งสรรพสิ่ง (Theory of Everything: TOE) การวัด
[[กลศาสตร์ควอนตัม]]ได้ให้ความหมายของการวัดไว้ว่าเป็น "การยุบตัวของฟังก์ชันคลื่น" ความหมายที่กำกวมเช่นนี้มาจาก[[ปัญหาการวัด]]ซึ่งเป็นข้อปัญหาพื้นฐานที่แก้ไม่ได้ของกลศาสตร์ควอนตัม เลขควอนตัมแม่เหล็ก
ในฟิสิกส์อะตอม เลขควอนตัมแม่เหล็ก () สัญลักษณ์ คือ m เป็นหนึ่งในเลขควอนตัม ()  ซึ่งใช้อธิบายสถานะของอิเล็กตรอนในอะตอม เลขควอนตัมแม่เหล็กจะแสดงจำนวนออบิทัลตามระดับพลังงานย่อย และใช้เพื่อแสดงความสัมพันธ์กับเลขควอนตัมโมเมนตัมเชิงมุม () ของออบิทัล  พีชคณิตเชิงเส้น
พีชคณิตเชิงเส้น (Linear algebra) เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาเวกเตอร์ ปริภูมิเวกเตอร์ (หรืออีกชื่อหนึ่งคือ "ปริภูมิเชิงเส้น") การแปลงเชิงเส้น และระบบสมการเชิงเส้น ปริภูมิเวกเตอร์เป็นเรื่องที่ได้รับความสนใจอย่างมากในคณิตศาสตร์สมัยใหม่ เนื่องจากพีชคณิตเชิงเส้นถูกนำไปใช้อย่างกว้างขวางในคณิตศาสตร์สองสายหลักคือ พีชคณิตนามธรรมและการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน พีชคณิตเชิงเส้นนั้นมีรูปแบบที่ชัดเจนในเรขาคณิตวิเคราะห์ และถูกขยายให้กว้างขึ้นในทฤษฎีตัวดำเนินการ และมีการประยุกต์ใช้อย่างแพร่หลายในวิชาวิทยาศาสตร์และสังคมศาสตร์ เนื่องจากแบบจำลองไม่เชิงเส้น (nonlinear model) ส่วนมากสามารถประมาณการณ์ได้ด้วยแบบจำลองเชิงเส้น (linear model) ควอนตัมดอต
ควอนตัมดอทแต่ละอันอาจจะสร้างจากอิเล็กตรอนสองมิติหรือช่องว่างที่เกิดขึ้นในควอนตัมเวล หรือโครงสร้างที่ต่างกันของสารกึ่งตัวนำที่เรียกควอนตัมดอทด้านข้าง ผิวของตัวอย่างถูกเคลือบด้วยชั้นบางๆ รูปแบบที่สามารถเปลี่ยนไปเป็นอิเล้กตรอนหรือช่องว่างได้โดยการตกตะกอนซึ่งสามารถทำให้ใช้ความต่างศักย์จากภายนอกระหว่างแก๊สของอิเล็กตรอนและอิเล็กโทรด ควอนตัมดอทเป็นที่สนใจในเชิงการทดลองและการประยุกต์ใช้ที่เกี่ยวข้องกับการขนส่งอิเล็กตรอนหรือช่องว่าง เช่นกระแสอิเล็กตรอน พลังงานสเปกตรัมของควอนตัมดอทสามารถดัดแปลงได้โดยการควบคุมขนาด รูปร่างและความเข้มโดยใช้ชั้นของศักยภาพ ในทางตรงกันข้ามกับอะตอม ง่ายที่จะเชื่อมต่อควอนตัมดอทโดยการปรับตัวกั้นขวางทางไฟฟ้าที่จะยอมให้เทคนิคของการปรับสเปกโทรสโคปีในการค้นหา ตัวดำเนินการในกลศาสตร์ควอนตัม
ให้ "ψ" เป็นฟังก์ชันคลื่นสำหรับระบบควอนตัม โดยฟังก์ชันคลื่นจะต้องมีสมบัติ square-integrable functions คือวิธีการหาปริพันธ์ของฟังก์ชันกำลังสอง เมื่อฟังก์ชันคลื่นคูณแบบสเกลาร์กับตัวมันเองแล้วสามารถหาค่าได้ กล่าวคือ เลขควอนตัมโมเมนตัมเชิงมุม
เลขควอนตัมโมเมนตัมเชิงมุม สัญลักษณ์ คือ ℓ (Azimuthal quantum number หรือ Orbital angular momentum quantum number) เป็นเลขควอนตัมสำหรับวงโคจรของอะตอม ที่ใช้บอกโมเมนตัมเชิงมุมสำหรับการเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอนรอบนิวเคลียสและใช้บอกรูปร่างของออร์บิทัลที่อิเล็กตรอนนั้นครอบครองอยู่ เลขควอนตัมโมเมนตัมเชิงมุมเป็นเลขอันดับ 2 ในชุดของเลขควอนตัม ซึ่งเลขควอนตัมนี้เป็นเลขที่อธิบายสถานะควอนตัมของอิเล็กตรอน เลขควอนตัม ประกอบด้วย เลขควอนตัมหลัก (Principal quantum number) เลขควอนตัมโมเมนตัมเชิงมุม (Azimuthal quantum number) เลขควอนตัมแม่เหล็ก (Magnetic quantum number) และเลขควอนตัมสปิน (Spin quantum number) วิธีการแปรค่า (กลศาสตร์ควอนตัม)
สมมติว่า ใน Hilbert space มีเอร์มิทเทียนโอเปอร์เรเตอร์ ที่เรียกว่า ฮาร์มิลโตเนียน (Hamiltonian) H ที่อธิบายถึงระบบที่ต้องการศึกษา และฟังก์ชันคลื่นที่สามารถนอร์มอลไลซ์ได้ (normalizable function) ใด ๆ ที่ขึ้นกับอาร์กิวเมนต์ที่เหมาะสมสำหรับฟังก์ชันคลื่นที่ไม่ทราบค่าของระบบ ตามสมการ โพซิตรอน
ในปี 1928 พอล ดิแรก (Paul Dirac) ได้ตีพิมพ์รายงานวิจัยเสนอว่าอิเล็กตรอนสามารถมีได้ทั้งประจุบวกและพลังงานที่มีค่าลบ รายงานวิจัยนี้ได้แนะนำสมการดิแรก, การผสมผสานของกลศาสตร์ควอนตัม, ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษและว่าด้วยแนวคิดใหม่ของอิเล็กตรอนสปินเพื่ออธิบายปรากฏการณ์ซีแมน (Zeeman effect) รายงานวิจัยไม่ได้ทำนายถึงอนุภาคใหม่อย่างแน่ชัดนัก, แต่ก็ยังอนุญาตให้อิเล็กตรอนที่มีทั้งพลังงานที่เป็นบวกหรือลบเป็นวิธีสำหรับแก้ไขปัญหาอยู่ การแก้ปัญหาพลังงานที่มีค่าบวกถูกอธิบายได้ด้วยผลการทดลอง, แต่ก็ยังอนุญาตให้มีอิเล็กตรอนที่มีพลังงานบวกหรือลบอย่างใดอย่างหนึ่งเป็นวิธีในการแก้ไขปัญหา การแก้ปัญหาพลังงานในเชิงบวกถูกอธิบายได้ด้วยผลการทดลอง แต่ดิแรกก็ยังคงเกิดความฉงนสนเท่ห์กับการแก้ปัญหาพลังงานที่มีค่าเชิงลบที่มีความถูกต้องเท่าเทียมกันซึ่งแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ได้อนุญาตให้มีได้ กลศาสตร์ควอนตัมนั้นไม่อนุญาตให้มีการแก้ปัญหาเกี่ยวกับพลังงานที่มีค่าเป็นจำนวนติดลบได้, เหมือนดังเช่นกับในกลศาสตร์แบบดั้งเดิมที่มักจะได้กระทำกับในสมการที่เกี่ยวข้องกับพลังงานที่มีค่าติดลบดังกล่าว โดยที่จะเป็นแค่เพียงแค่ถูกละเว้นไว้ในฐานที่เข้าใจกัน ซึ่งทางออกของการแก้ปัญหาแบบคู่ขนานนี้ได้ส่อแสดงนัยให้เห็นถึงความเป็นไปได้ของการกระโดดข้ามไปมาตามธรรมชาติระหว่างสถานะของพลังงานที่เป็นบวกและลบของอิเล็กตรอน อย่างไรก็ตาม, การเปลี่ยนแปลงที่เกิดขึ้นดังกล่าวก็ยังคงไม่ได้ถูกสังเกตการณ์โดยทางการทดลองทางฟิสิกส์แต่อย่างใด เขาได้พูดถึงปัญหาที่เกิดขึ้นจากความขัดแย้งกันระหว่างแนวคิดทางทฤษฎีและการสังเกตการณ์ทางการทดลองนี้ว่าเป็น "ความยากลำบาก" ที่ "ไม่อาจตัดสินใจได้" การเคลื่อนที่ (ฟิสิกส์)
ในกลศาสตร์ดั่งเดิม การวัดและการทำนายสถานะของวัตถุสามารถคำนวณได้อย่างแม่นยำ เช่น ตำแหน่ง และ ความเร็ว ในกลศาสตร์ควอนตัมเนื่องจากหลักความไม่แน่นอน สถานะที่สมบูรณ์ของอนุภาคย่อย เช่น ตำแหน่งและความเร็วไม่สามารถกำหนดได้พร้อม ๆ กัน กลศาสตร์ดั้งเดิม
ในทางฟิสิกส์ กลศาสตร์ดั้งเดิมอธิบายการเคลื่อนที่ของวัตถุขนาดใหญ่โดยแปลงการเคลื่อนที่ต่าง ๆ ให้กลายเป็นส่วนของเครื่องจักรกล เหมือนกันกับวัตถุทางดาราศาสตร์ อาทิ ยานอวกาศ ดาวเคราะห์ ดาวฤกษ์ และ ดาราจักร รวมถึงครอบคลุมไปยังทุกสถานะของสสาร ทั้งของแข็ง ของเหลว และแก๊ส โดยจะให้ผลลัพธ์ที่มีความแม่นยำสูง แต่เมื่อวัตถุมีขนาดเล็กหรือมีความเร็วที่สูงใกล้เคียงกับความเร็วแสง กลศาสตร์ดั้งเดิมจะมีความถูกต้องที่ต่ำลง ต้องใช้กลศาสตร์ควอนตัมในการศึกษาแทนกลศาสตร์ดั้งเดิมเพื่อให้มีความถูกต้องในการคำนวณสูงขึ้น โดยกลศาสตร์ควอนตัมจะเหมาะสมที่จะศึกษาการเคลื่อนที่ของวัตถุที่มีขนาดเล็กมาก ซึ่งได้ถูกปรับแต่งให้เข้ากับลักษณะของอะตอมในส่วนของความเป็นคลื่น-อนุภาคในอะตอมและโมเลกุล แต่เมื่อกลศาสตร์ทั้งสองไม่สามารถใช้ได้ จากกรณีที่วัตถุขนาดเล็กเคลื่อนที่ด้วยความเร็วสูง ทฤษฎีสนามควอนตัมจึงเป็นตัวเลือกที่นำมาใช้ในการคำนวณแทนกลศาสตร์ทั้งสอง กลศาสตร์แบบลากรองจ์
กลศาสตร์แบบลากรองจ์ () เป็นกลศาสตร์แบบหนึ่งที่อยู่ภายในขอบเขตของกลศาสตร์ดั้งเดิม ()เช่นเดียวกับกฎของนิวตัน ซึ่งกฎข้อที่สองของนิวตันสามารถทำนายการเคลื่อนที่ของวัตถุโดยมีหัวใจสำคัญ คือ การหาแรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุ และโดยทั่วไปปัญหาทางกลศาสตร์มีความซับซ้อนค้อนข้างมาก เช่นการเคลื่อนที่ของวัตถุบนผิวทรงกลม เมื่อการคำนวณหาแรงลัพธ์มีความยากลำบาก กลศาสตร์ของนิวตันจึงไม่เหมาะสมที่จะนำมาศึกษากลศาสตร์ที่มีความซับซ้อนได้ แนวคิดด้านกลศาสตร์แบบใหม่ที่เข้ามาอธิบายกลศาสตร์ที่มีความซับซ้อน คือ กลศาสตร์ลากรองจ์ ถูกเสนอในปี 1788 โดย นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส - อิตาลี โฌแซ็ฟ หลุยส์ ลากร็องฌ์ การคำนวณแบบกลศาสตร์ลากรองจ์สามารถนำไปประยุกต์ใช้กับการเคลื่อนที่แบบต่างๆ ที่มีความซับซ้อนและแก้ปัญหาด้วยกลศาสตร์นิวตันได้ยาก เช่น ปัญหาเพนดูลัมที่มีมวลมากกว่า 1 อัน ความง่ายของกลศาสตร์นี้ คือ ไม่ใช้แรงในการคำนวณ แต่จะใช้พิกัดทั่วไปและระบบพลังงานในการแก้ปัญหา เนื่องจากพลังงานเป็นปริมาณสเกลาร์การคำนวณจึงง่ายกว่าการแก้ปัญหาแบบเวกเตอร์ กลศาสตร์แบบลากรองจ์สามารถพัฒนารูปแบบสมการจนไปถึงสมการความหนาแน่นลากรองจ์ (Lagrangian density) การที่จะได้มาซึ่งกลศาสตร์ลากรองจ์มีอยู่ 3 วิธี 
1) การพิสูจน์สมการลากรองจ์จากกฎข้อที่สองของนิวตัน (Newton’s second law)
2) การพิสูจน์สมการลากรองจ์จากหลักการดาล็องแบร์ (D’Alembert Principle)
3) พิสูจน์จากหลักการของฮามิลตัน (Hamilton’s Principle)
สมการลากรองจ์ เกิดจากผลต่างระหว่างพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ภายในระบบซึ่งมีรูปแบบดังนี้
สมการดังกล่าว มีความสัมพันธ์ตามสมการออยเลอร์-ลากรองจ์ (Euler-Lagrange Equation) ดังนี้ ประวัติศาสตร์ฟิสิกส์
กลศาสตร์ควอนตัมยังได้ให้เครื่องมือทางทฤษฎีในการทำความเข้าใจ condensed matter physics ซึ่งศึกษาพฤติกรรมทางกายภาพของของแข็งและของเหลว รวมทั้งปรากฏการณ์เช่น การนำไฟฟ้าในโครงสร้าง ผลึก มีผู้บุกเบิก condensed matter physics มากมายรวมทั้ง Felix Bloch ผู้เขียนคำบรรยายเชิงกลศาสตร์ควอนตัมของพฤติกรรมอิเล็กตรอนในโครงสร้างผลึกเมื่อ ค.ศ. 1928 พฤติกรรมของของแข็งจำนวนมากถูกไขปริศนาภายในไม่กี่ปีด้วยการค้นพบ Fermi surface ซึ่งตั้งอยู่บนแนวคิดของหลักการกีดกันของเพาลีซึ่งประยุกต์มาใช้กับระบบที่มีหลายอิเล็กตรอน ความเข้าใจในเรื่องสมบัติการส่งผ่านใน สารกึ่งตัวนำ ดังที่บรรยายใน "Electrons and holes in semiconductors, with applications to transistor electronics" ของ William Shockley ทำให้เกิดการปฏิวัติทางอิเล็กทรอนิกส์ของคริสต์ศตวรรษที่ยี่สิบด้วยการพัฒนา ทรานซิสเตอร์ ซึ่งหาได้ง่ายและราคาถูก เลขควอนตัมโมเมนตัมเชิงมุม
https://enchemcom1a.wordpress.com/%E0%B9%80%E0%B8%99%E0%B8%B7%E0%B9%89%E0%B8%AD%E0%B8%AB%E0%B8%B2%E0%B9%80%E0%B8%81%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B8%A2%E0%B8%A7%E0%B8%81%E0%B8%B1%E0%B8%9A%E0%B8%AD%E0%B8%B0%E0%B8%95%E0%B8%AD%E0%B8%A1/%E0%B8%97%E0%B8%A4%E0%B8%A9%E0%B8%8E%E0%B8%B5%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%95%E0%B8%B1%E0%B8%A1/ กลศาสตร์ดั้งเดิม
เมื่อทั้งกลศาสต์ควอนตัมและกลศาสตร์ดั้งเดิมไม่สามารถใช้ได้ เช่น ในระดับขนาดที่เล็กมาก ๆ ที่มีระดับความเป็นอิสระมาก ทฤษฎีสนามควอนตัมจึงถูกนำมาใช้แทน ซึ่งทฤษฎีสนามควอนตัมจะใช้ในระยะทางที่ใกล้และมีความเร็วที่สูงด้วยระดับความเป็นอิสระที่มาก พอ ๆ กับความเป็นไปได้ที่จำนวนของอนุภาคจะเปลี่ยนไปด้วยอันตรกิริยา เมื่อเปลี่ยนระดับขนาดเป็นขนาดใหญ่ขึ้น กลศาสตร์สถิติเริ่มสามารถใช้ได้ ซึ่งกลศาสตร์สถิติอธิบายพฤติกรรมของอนุภาคจำนวนมาก (แต่ยังสามารถนับได้) และปฏิกิริยาในระดับขนาดใหญ่ กลศาสตร์สถิติถูกใช้หลัก ๆ กับอุณหพลศาสตร์สำหรับระบบที่ยังอยู่ในอุณหพลศาสตร์ดั้งเดิม ในกรณีสำหรับวัตถุที่มีความเร็วสูงใกล้เคียงความเร็วแสง กลศาสตร์ดั้งเดิมถูกเพิ่มเติมโดยทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปได้รวมทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษและกฎแรงโน้มถ่วงสากลของนิวตัน ให้นักฟิสิกส์ได้ศึกษาความโน้มถ่วงในระดับที่ลึกยิ่งขึ้น แฮมิลโทเนียน (กลศาสตร์ควอนตัม)
แฮมิลโทเนียนมาจากชื่อของเซอร์วิลเลียม โรวัน แฮมิลตัน ซึ่งเป็นผู้ปฏิรูปการปฏิวัติของกลศาสตร์นิวโทเนียน (Newtonian mechanics) ซึ่งปัจจุบันมีชื่อเรียกว่า กลศาสตร์แฮมิลโทเนียน (Hamiltonian mechanics) และเป็นสิ่งที่สำคัญมากในวิชาฟิสิกส์ควอนตัม (quantum physics)  กลูออน
กล่าวในเชิงเทคนิค กลูออนก็คือเกจโบซอนแบบเวกเตอร์ที่เป็นตัวกลางของอันตรกิริยาอย่างเข้มของควาร์กในควอนตัมโครโมไดนามิกส์ (QCD) ซึ่งแตกต่างกับโฟตอนที่เป็นกลางทางไฟฟ้าของควอนตัมอิเล็กโตรไดนามิกส์ (QED) ตัวกลูออนเองนั้นมีประจุสี (color charge) ดังนั้นจึงมีส่วนอยู่ในอันตรกิริยาอย่างเข้มเพื่อทำหน้าที่เป็นตัวกลาง ทำให้การวิเคราะห์ QCD ทำได้ยากกว่า QED เป็นอย่างมาก กลศาสตร์ควอนตัม
สูตรการแผ่รังสีของวัตถุดำ เป็นผลงานแรกๆ ของทฤษฎีควอนตัม ในกลางคืน วันอาทิตย์ที่ 7 ตุลาคม พ.ศ. 2443 โดยพลังก์ มันมาจากรายงานของรูเบนส์ (Rubens) จากการค้นพบล่าสุดในการค้นหาอินฟราเรด คืนนั้นเองพลังก์เขียนสูตรลงบนโปสการ์ด รูเบนส์ ได้รับโปสการ์ดนั้นในเช้าวันถัดมา เลขควอนตัมโมเมนตัมเชิงมุม
โดยที่ กลศาสตร์ควอนตัม
n = เลขควอนตัม E = พลังงาน f = ความถี่ single mode ที่แผ่รังสี การแปลงภายใน
ในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของกลศาสตร์ควอนตัมสำหรับกระบวนการการแปลงภายใน, wavefunction ของอิเล็กตรอนที่เปลือกชั้นใน (ปกติจะเป็น "s" อิเล็กตรอน) จะแทรกซึมเข้าไปในเนื้อของ นิวเคลียส ซึ่งหมายความว่ามีความเป็นไปได้ที่แน่นอนของการค้นหาอิเล็กตรอนภายในนิวเคลียส เมื่อเกิดเหตุการณ์นี้ อิเล็กตรอนอาจเชื่อมไปยังสภาวะของพลังงานที่ถูกกระตุ้นของนิวเคลียสและใช้พลังงานจากการเปลี่ยนผ่านนิวเคลียสโดยตรง โดยปราศจากรังสีแกมมาช่วงกลางที่ถูกผลิตในครั้งแรก พลังงานจลน์ของอิเล็กตรอนที่ถูกปล่อยออกมาจะเท่ากับพลังงานการเปลี่ยนผ่านในนิวเคลียส, ลบด้วยพลังงานยึดเหนี่ยวของอิเล็กตรอนที่ยึดเหนี่ยวเข้ากับอะตอม เอนรีโก แฟร์มี
ด้วยเหตุนี้สถิติแบบแฟร์มี-ดิแรกถูกไปสู่การประยุกต์ใช้อย่างกว้างขวางตั้งแต่การอธิบายปรากฏการณ์ระดับสเกลเล็ก ๆ ในระดับอะตอมไปจนถึงวัฏจักรชีวิตของดาวฤกษ์
ให้สังเกตว่าเป็นปี พ.ศ. 2469 แฟร์มี และ พอล ดิแรก ศึกษาเรื่องนี้ เป็นปีที่เพิ่งเริ่มมีวิชากลศาสตร์ควอนตัม (Quantum Mechanics) ที่สมบูรณ์เท่านั้น และดิแรกเองก็ยังเป็นหนึ่งในผู้ค้นพบวิชากลศาสตร์ควอนตัมด้วย ฟิสิกส์ของอนุภาค
การวิจัยด้านฟิสิกส์ของอนุภาคที่ทันสมัยจะมุ่งเน้นไปที่อนุภาคของอะตอมย่อย () รวมทั้งองค์ประกอบที่สร้างขึ้นเป็นอะตอมเช่นอิเล็กตรอน โปรตอน และนิวตรอน (โปรตอนและนิวตรอนเป็นอนุภาคผสมที่เรียกว่าแบริออน ทำจากหลายควาร์ก) ที่ผลิตโดยกระบวนการกัมมันตรังสีและการกระจัดกระจาย เช่นโฟตอน นิวตริโน และมิวออน เช่นเดียวกับอีกหลากหลายของอนุภาคที่แปลกใหม่ ไดนามิกส์ของอนุภาคทั้งหลายยังถูกควบคุมโดยกลศาสตร์ควอนตัมอีกด้วย; โดยพวกมันจะแสดงออกเป็นสองภาคของคลื่นและของอนุภาค () นั่นคือมันจะแสดงพฤติกรรมเหมือนกับเป็นอนุภาคภายใต้สภาวะการทดลองบางอย่างและพฤติกรรมเหมือนกับเป็นคลื่นในสภาวะอื่น ๆ ในความหมายทางเทคนิคมากขึ้น พวกมันจะถูกอธิบายโดยเวกเตอร์ของสภาวะควอนตัมใน Hilbert space, ซึ่งถูกปฏิบัติในทฤษฎีสนามควอนตัมเช่นกัน หลังจากการประชุมของนักฟิสิกส์ด้านอนุภาค คำว่าอนุภาคมูลฐานถูกนำไปใช้กับอนุภาคเหล่านั้นที่ถูก(ตามที่เข้าใจในปัจจุบัน)สันนิษฐานว่าเป็นพวกที่แบ่งแยกไม่ได้และไม่ประกอบด้วยอนุภาคอื่น ๆ มักซ์ พลังค์
แต่ต่อมา สิ่งที่เขา "สมมุติ" ได้กลายเป็นจุดกำเนิดของฟิสิกส์ควอนตัม ที่มีแนวคิดแผกไปจากฟิสิกส์ดั้งเดิม  กลศาสตร์แฮมิลตัน
พี.เอ.เอ็ม.ดิเรก (P.A.M.Direc) พบว่าวงเล็บปัวส์ซองในแบบกลศาสตร์คลาสสิคมีความเชื่อมโยงกันกับวงเล็บการสลับที่ของกลศาสตร์ควอนตัม โดย พี.เอ.เอ็ม.ดิเรกสามารถที่จะกำหนดค่าวงเล็บปัวส์ซองในกลศาสตร์คลาสสิคได้จากการสลับที่ของตัวดำเนินการในกลศาสตร์ควอนตัม ซึ่งแสดงความหมายว่ากลศาสตร์คลาสสิคอยู่ในขอบเขตที่ค่าคงที่แพลงค์เป็นศูนย์ การเคลื่อนที่ (ฟิสิกส์)
กลศาสตร์ดั่งเดิมมีรากฐานมาจากกฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน กฎเหล้าอธิบายถึงความสัมพันธ์ระหว่างแรงที่มากระทำต่อวัตถุกับการเคลื่อนที่ของวัตถุนั้น โดยการรวบรวมของไอแซก นิวตัน ในหนังสือ ซึ่งตีพิมพ์ครั้งแรกเมื่อ 5 กรกฎาคม ค.ศ. 1687 โดยกฎการเคลื่อนที่มีดังนี้
กฎการเคลื่อนที่ทั้งสามข้อของนิวตันนี้ เป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์แรก สำหรับการทำความเข้าใจการโคจรของวัตถุในอวกาศ ซึ่งเป็นการอธิบายภาพรวมการเคลื่อนที่ของเทห์ฟ้าและการเคลื่อนที่ของวัตถุบนผิวโลก ตัวดำเนินการในกลศาสตร์ควอนตัม
เมื่อ formula_15 คือ formula_9 และเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อน ซึ่ง |formula_15| = formula_15formula_15 เป็น โอกาสในการพบอนุภาคในสถานะควอนตัม formula_7 ควอนตัมดอต
การจัดตัวเป็นลำดับอย่างสูงมากของควอนตัมดอทสามารถจัดตัวเองโดยเทคนิคทางเคมีไฟฟ้า แม่แบบออกแบบโดยปฏิกิริยาไอออนิกที่รอยต่อระหว่างอิเล็กโทรไลท์และโลหะ ที่ทำให้เกิดการรวมตัวเองของโครงสร้างระดับนาโน รวมทั้งควอนตัมดอทของโลหะที่ใช้เป็นหน้ากากของการยึดโครงสร้างนาโนบนสับสเตรทที่เลือก แอร์วิน ชเรอดิงเงอร์
ที่มาของความคิดที่นำแอร์วิน ชเรอดิงเงอร์ สู่การนำเสนอสมการคลื่นของเขา เริ่มต้นตั้งแต่จุดกำเนิดของทฤษฎีควอนตัม (quantum theory) โดยบิดาแห่งฟิสิกส์ควอนตัม คือ มักซ์ พลังค์ (Max Planck) เมื่อปี ค.ศ.1900 ตามด้วยความคิดในวงการฟิสิกส์ควอนตัมต่อมา เรื่องความเป็นคลื่นและอนุภาคของทุกสิ่งที่มักจะเข้าใจกันว่า เป็นคลื่นหรือเป็นอนุภาคเพียงอย่างเดียว และสำคัญที่สุด คือการนำเสนอความคิดเรื่อง "คลื่นอนุภาค" (Particle Wave) โดยนักฟิสิกส์ชาวฝรั่งเศส ชื่อ หลุยส์ เดอ เบรย (Louis De Broglie) เมื่อปี ค.ศ.1923 กลศาสตร์ควอนตัม
ควอนตัม เอนแทงเกิลเมนต์ ครั้งหนึ่งเคยถูกมองเป็นเรื่องซับซ้อนและลึกลับเกินกว่าจะเป็นจริงได้ มาปัจจุบันกำลังกลายเป็นเรื่องที่ตื่นเต้นมาก และมีแนวโน้มจะเป็นหนึ่งในหลักการสำคัญของเทคโนโลยีแห่งศตวรรษที่ 21 อนุภาคที่พัวพันกัน กำลังจะถูกใช้ในการสร้างระบบการสื่อสารที่เป็นความลับ อาจเป็นพื้นฐานของคอมพิวเตอร์ควอนตัมความเร็วสูงพิเศษ และแม้แต่เครื่อง "Teleportation" ในสไตล์ของภาพยนตร์ชุดสตาร์เทรค นักทฤษฎีในปัจจุบันคิดว่า เอนแทงเกิลเมนต์อาจเป็นปรากฏการณ์ค่อนข้างทั่วไปในธรรมชาติ ความคิดที่นำมาสู่ความเป็นไปได้ว่า เรากำลังอาศัยอยู่ในใยคอสมิกจริงๆ ที่เชื่อมโยงถึงกันและกัน ข้ามมิติของตำแหน่งและเวลา กลศาสตร์ควอนตัม
ข้อแตกต่างของกลศาสตร์ดั้งเดิมและกลศาสตร์ควอนตัม กลายเป็นเรื่องประหลาด จนกระทั่งในปี พ.ศ. 2469 แวร์เนอร์ ไฮเซนแบร์ก และ แอร์วิน ชเรอดิงเงอร์ สามารถอธิบายทฤษฎีดังกล่าวทางคณิตศาสตร์ได้ ประวัติศาสตร์ฟิสิกส์
ในช่วงต้นของ ค.ศ. 1900 แมกซ์ พลังค์ อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ นีลส์ บอห์ร และคนอื่น ๆ ได้พัฒนาทฤษฎี ควอนตัม เพื่ออธิบายผลการทดลองที่ต่างออกไป เช่น ปรากฏการณ์โฟโตอิเล็กตริก และสเปกตรัมของ วัตถุดำ โดยการเสนอระดับพลังงานที่ไม่ต่อเนื่องกันและในปี ค.ศ. 1925 วูล์ฟกัง เพาลี ได้ตั้ง หลักการกีดกันของเพาลี และแนะนำการมีอยู่ของ สปิน ที่ควอนไทซ์กับ เฟอร์มิออน ในปีนั้น Erwin Schrödinger ได้เขียนสูตร กลศาสตร์คลื่น ซึ่งได้ให้กลักการทางคณิตศาสตร์สำหรับบรรยายสถานการณ์ทางฟิสิกส์จำนวนมากเช่น อนุภาคในกล่อง และ quantum harmonic oscillator ซึ่งเขาแก้เป็นครั้งแรก เวอร์เนอร์ ไฮเซนเบิร์ก ได้บรรยายเมื่อ ค.ศ. 1925 ถึงหลักการทางคณิตศาสตร์ที่แหวกแนวเช่นกัน เรียกว่า matrix mechanics ซึ่งพิสูจน์ว่าเทียบเท่ากับกลศาสตร์คลื่น ในปี ค.ศ. 1928 พอล ดิแรก ได้สร้างสูตรเชิงสัมพัทธภาพมาจาก matrix mechanics ของไฮเซนเบิร์ก และทำนายการมีอยู่ของ โพซิตรอน กับค้นพบ quantum electrodynamics ขั้นตอนวิธีของชอร์
ในการแยกตัวประกอบโดยใช้ขั้นตอนวิธีของชอร์นั้นประกอบด้วย2ส่วนคือแนวคิดที่จะใช้การคำนวณต่าง ๆ บนอุปกรณ์ที่อยู่ทำงานด้วยพื้นฐานของกลศาสตร์ควอนตัมเริ่มมีการนำเสนอมาตั้งแค่ทศวรรษที่ 1970 จากทั้งนักคอมพิวเตอร์ และนักฟิสิกส์หลายคน โดยแนวคิดนี้เริ่มต้นมาจากการที่พวกเขาทั้งหลายได้เริ่มไตร่ตรองถึงขีดจำกัดในการคำนวณ เนื่องมาจากกฎของมัวร์ (Moore’s law) ซึ่งจะทำให้ขนาดวงจรบนชิพซิลิกอนนั้นมีขนาดเล็กลงไปเรื่อย ๆ จนถึงขนาด 2-3 อะตอม ซึ่งถ้าหากมีขนาดเล็กขนาดนั้นก็จะทำให้อะตอมแสดงคุณสมบัติของควอนตัมออกมาในวงจร จึงเกิดแนวคิดเกี่ยวกับคอมพิวเตอร์ชนิดใหม่ที่จะทำงานบนพื้นฐานของกฎทางกลศาสตร์ควอนตัม วิธีการแปรค่า (กลศาสตร์ควอนตัม)
formula_20 ตารางธาตุ
ด้วยการพัฒนากลศาสตร์ควอนตัม และทฤษฎีของการจัดเรียงอิเล็กตรอนภายในอะตอม พบว่าอิเล็กตรอนจะเพิ่มขึ้นตามคาบ (แถวแนวนอน) ในตารางธาตุเพื่อเติมเต็มวงอิเล็กตรอน อะตอมที่มีขนาดใหญ่ขึ้นจะมีวงย่อยมากขึ้น และทำให้ตารางธาตุจะมีคาบที่ยาวขึ้นไปด้วย[66] ฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์
ฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ () เป็นสาขาวิชาฟิสิกส์ที่ใช้หลักการทางคณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหา โดยอาจแบ่งได้เป็น 2 ยุค คือยุคแรกหรือยุคคลาสสิก ฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ได้รับการคิดค้นเพื่อใช้แก้ปัญหาทางกลศาสตร์ ทฤษฎีไฟฟ้าแม่เหล็ก และอุณหพลศาสตร์เป็นต้น และฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ยุคหลังหรือยุคใหม่ได้รับการคิดค้นเพื่อแก้การปัญหาในส่วนกลศาสตร์ควอนตัม ทฤษฎีสัมพัทธภาพ รวมทั้งทฤษฎีสตริงและทฤษฎีแห่งสรรพสิ่ง นักคณิตศาสตร์ฟิสิกส์ที่มีชื่อเสียง ได้แก่ แบลซ ปัสกาล, ไอแซก นิวตัน, เลอ็อนฮาร์ท อ็อยเลอร์, โฌแซ็ฟ-หลุยส์ ลากร็องฌ์, ฌ็อง เลอ รง ดาล็องแบร์, อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์, เจมส์ คลาร์ก แมกซ์เวลล์, ลอร์ด เคลวิน, โจซิอาห์ วิลลาร์ด กิบส์, ดาวิท ฮิลเบิร์ท, อ็องรี ปวงกาเร, สตีเฟน ฮอว์กิง เป็นต้น กลศาสตร์ดั้งเดิม
นิวตันเป็นคนแรกที่อธิบายความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ระหว่างแรงและโมเมนตัม นักฟิสิกส์บางคนตีความกฎการเคลื่อนที่ข้อสองของนิวตันว่าเป็นนิยามของแรงและมวล ในขณะที่คนอื่นพิจารณาให้มันเป็นสัจพจน์พื้นฐาน หากจะตีความอีกรูปแบบหนึ่งในผลที่ตามมาทางคณิตศาสตร์ที่เหมือนกัน หรือในทางประวัติศาสตร์เรียกว่า "กฎข้อที่สองของนิวตัน" ซึ่งก็คือ นิวเคลียสของอะตอม
เช่นเดียวกับกรณีของ ฮีเลียมเหลว ที่เป็น สุดยอดของเหลว () นิวเคลียสของอะตอมจะเป็นตัวอย่างหนึ่งของสถาวะที่ทั้ง (1) กฎทางกายภาพของอนุภาค "ธรรมดา" สำหรับปริมาณ และ (2) กฎของกลศาสตร์ควอนตัมที่ใช้งานไม่ง่ายสำหรับธรรมชาติที่เหมือนคลื่นจะนำมาประยุกต์ใช้ ในฮีเลียมสุดยอดของเหลว อะตอมของฮีเลียมมีปริมาณ และ "สัมผัส" ซึ่งกันและกันเป็นหลัก ในเวลาเดียวกัน ก็ยังแสดงคุณสมบัติจำนวนมากที่แปลก, สม่ำเสมอกับ การควบแน่นแบบ Bose-Einstein การควบแน่นนี้เปิดเผยว่าพวกมันยังมีธรรมชาติเหมือนคลื่นและไม่แสดงคุณสมบัติของของเหลวมาตรฐานอีกด้วย เช่นแรงเสียดทาน สำหรับนิวเคลียสที่ทำจาก แฮดรอน ซึ่งเป็นพวก เฟอร์มิออน ประเภทเดียวกันของการควบแน่นจะไม่ได้เกิดขึ้น และยิ่งกว่านั้น คุณสมบัติของนิวเคลียสจำนวนมากสามารถที่จะอธิบายได้เช่นกันโดยการรวมกันของคุณสมบัติของอนุภาคที่มีปริมาณเท่านั้น รวมเข้ากับลักษณะการเคลื่อนไหวที่ไม่มีแรงเสียดทานของพฤติกรรมเหมือนคลื่นของวัตถุที่ติดกับอยู่ใน วงโคจรควอนตัม ของ Erwin Schrödinger หลุมดำเชิงควอนตัม
หลุมดำเชิงควอนตัม หรือ หลุมดำจิ๋ว เป็นสมมติฐานของหลุมดำที่มีขนาดเล็กมากๆ ระดับควอนตัม ทฤษฎีควอนตัมจึงมีบทบาทสำคัญในหลุมดำประเภทนี้ เช่น การแผ่รังสีฮอว์คิง กลศาสตร์แฮมิลตัน
ในการแก้ปัญหาการเคลื่อนที่ นอกจากการใช้กฎของนิวตัวและกลศาสตร์แบบลากรานจ์แล้วเราสามารถสร้างฮามิลโทเนียนได้จากลากรางเจียน ()ของระบบ เราสามารถหาสมการการเคลื่อนที่ในรูปของอนุพันธ์อันดับที่ 1 เปลี่ยนจากการบรรยายการเคลื่อนที่ของระบบในปริภูมิโครงแบบมาเป็นปริภูมิเฟสที่มีจำนวนมิติเป็น 2N วิธีการนี้ คือ สมการของแฮมิลตัน ซึ่งถูกเสนอขึ้นในปี 2376 โดยนักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ชาวไอร์แลนด์ เซอร์วิลเลียม โรวัน แฮมิลตัน ซึ่งการได้มาของสมการแฮมิลตันทำได้ 2 ลักษณะ คือ
1. การแปลงเลอร์จอง (Legendre Transformation)
2. หลักการแปรผัน (Variational Principle)
เนื่องจากฮามิลโทเนียนเป็นฟังก์ชันของพิกัดทั่วไป () และโมเมนตัมสังยุค (conjugate momenta, canonical momenta หรือ generalized momenta) แต่ลากรางเจียนเป็นฟังก์ชันของพิกัดและอัตราเร็วของพิกัดนั้น (อนุพันธ์ของพิกัดเทียบกับเวลา) ดังนั้นเราจึงจำเป็นจะต้องนิยามโมเมนตัมสังยุคก่อน
formula_1
โดย formula_2 คือพิกัดทั่วไป formula_3 คืออัตราเร็วสำหรับพิกัดนั้น และ formula_4 คือเวลา ซึ่งเวลาจะทำหน้าที่เป็นพารามิเตอร์ในกลศาสตร์แบบฉบับ  การเคลื่อนที่ (ฟิสิกส์)
กลศาสตร์ควอนตัมคือชุดของหลักการที่อธิบายถึงความจริงทางกายภาพในระดับอะตอมของสสาร (โมเลกุลและอะตอม) และอนุภาคย่อยของอะตอม (อิเล็กตรอน โปรตอน นิวตรอนและแม้แต่อนุภาคมูลฐานที่เล็กกว่าเช่นควาร์ก) คำอธิบายเหล่านี้รวมถึงพฤติกรรมที่เหมือนคลื่นและเหมือนอนุภาคของทั้งสสารและการแผ่รังสีตามที่อธิบายไว้ในความเป็นทวิภาคของคลื่น–อนุภาค ประวัติศาสตร์ฟิสิกส์
ทฤษฎีสนามควอนตัม ถูกสร้างขึ้นในการขยายกลศาสตร์ควอนตัมเพื่อให้สอดคล้องกับทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ มันอยู่ในรูปใหม่ในที่สุดในช่วงปลาย ค.ศ. 1940 ในผลงานของ ริชาร์ด ไฟยน์แมน Julian Schwinger, Sin-Itiro Tomonaga และ Freeman Dyson นี่กลายเป็นข่ายงานของ ฟิสิกส์อนุภาค ยุคใหม่ซึ่งศึกษา แรงพื้นฐาน และ elementary particles ในปี ค.ศ. 1954 Yang Chen Ning และ Robert Mills ได้พัฒนา class ของ gauge theories ซึ่งนำมาซึ่งขอบข่ายของ Standard Model ซึ่งสมบูรณ์เป็นส่วนใหญ่ในช่วง ค.ศ. 1970 และประสบความสำเร็จในการอธิบายอนุภาคมูลฐานเกือบทั้งหมดที่ค้นพบในช่วงนั้น จักรวาลวิทยาเชิงกายภาพ
จักรวาลวิทยาเชิงกายภาพ หรือ ฟิสิกส์จักรวาลวิทยา () คือสาขาวิชาหนึ่งของการศึกษาดาราศาสตร์ เป็นการศึกษาเกี่ยวกับโครงสร้างขนาดใหญ่ของจักรวาลและพลศาสตร์ของเอกภพของเรา ตลอดจนถึงความเกี่ยวข้องกับปัญหาพื้นฐานในแง่การกำเนิดและวิวัฒนาการของเอกภพ การศึกษาจักรวาลวิทยาเป็นการศึกษาเกี่ยวกับการเคลื่อนที่ของวัตถุท้องฟ้าต่าง ๆ และสาเหตุเริ่มต้นของการเคลื่อนที่เหล่านั้น มีพื้นฐานมาจากแนวคิดของโคเปอร์นิคัส ที่ว่าวัตถุท้องฟ้าทุกชนิดย่อมอยู่ภายใต้กฎทางฟิสิกส์เดียวกันกับกฎทางฟิสิกส์ที่ใช้บนโลก ส่วนกลศาสตร์นิวตันเป็นการนำเสนอทฤษฎีที่จะทำความเข้าใจกับการเคลื่อนที่ ปัจจุบันเรียกกลศาสตร์ทั้งหมดนี้รวม ๆ กันว่า กลศาสตร์ท้องฟ้า (celestial mechanics) สำหรับการศึกษาจักรวาลวิทยาเชิงกายภาพในยุคปัจจุบันเริ่มขึ้นจากการพัฒนาทฤษฎีใหม่ของอัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ ในคริสต์ศตวรรษที่ 20 คือ ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป รวมถึงข้อมูลการสังเกตการณ์วัตถุที่อยู่ไกลมาก ๆ ในจักรวาลของเรา วิธีการแปรค่า (กลศาสตร์ควอนตัม)
และมีค่าคาดหวัง (Expectation value) เป็น มวลลดทอน
ยกตัวอย่างเช่น ระบบของโลกและดวงจันทร์ในกลศาสตร์ท้องฟ้า หรือโปรตอนและอิเล็กตรอนของอะตอมไฮโดรเจนในกลศาสตร์ควอนตัม เราสามารถแก้ปัญหาของระบบเหล่านี้ได้สะดวกยิ่งขึ้นเมื่อใช้มวลลดทอน สสารควาร์ก
ในแบบจำลองมาตรฐานของการศึกษาฟิสิกส์อนุภาค แรงที่แข็งแกร่งที่สุดคืออันตรกิริยาอย่างเข้ม ซึ่งสามารถอธิบายได้ตามทฤษฎีควอนตัมโครโมไดนามิกส์ (QCD) ที่สภาวะความหนาแน่นและอุณหภูมิปกติ แรงนี้จะประกอบไปด้วยควาร์กที่รวมตัวกันเป็นอนุภาค (ฮาดรอน) ซึ่งมีขนาดประมาณ 10 ม. = 1 เฟมโตเมตร = 1 fm (เทียบกับมาตรวัดพลังงานของ QCD Λ ≈ 200 MeV) และไม่สามารถส่งผลกระทบได้ที่ระยะทางไกลๆ อย่างไรก็ดี เมื่ออุณหภูมิเพิ่มสูงขึ้นจนถึงระดับพลังงาน QCD (ประมาณ 10 เคลวิน) หรือความหนาแน่นเพิ่มขึ้นจนถึงจุดที่ระยะห่างภายในควาร์กเฉลี่ยน้อยกว่า 1 fm ฮาดรอนจะหลอมละลายกลายไปเป็นควาร์กที่เป็นองค์ประกอบ อันตรกิริยาชนิดเข้มก็จะกลายเป็นคุณลักษณะหลักทางกายภาพ สภาวะเช่นนี้แหละที่เรียกว่า สสารควาร์ก หรือสสาร QCD ตัวดำเนินการในกลศาสตร์ควอนตัม
เมื่อ formula_2 เป็นตัวดำเนินการ วิธีการแปรค่า (กลศาสตร์ควอนตัม)
หลักการแปรค่าที่กล่าวข้างบนเป็นพื้นฐานของวิธีการแปรค่าที่ใช้ในกลศาสตร์ควอนตัมและเคมีควอนตัม เพื่อหาค่าประมาณของสถานะพื้น ผลรวมเชิงเส้นของออร์บิทัลเชิงอะตอม
ผลรวมเชิงเส้นของออร์บิทัลเชิงอะตอม () เป็นหลักการซ้อนทับทางควอนตัม (quantum superposition) ของออร์บิทัลเชิงอะตอม (atomic orbitals) และเป็นเทคนิคที่ใช้ในการคำนวณออร์บิทัลเชิงโมเลกุล(molecular orbital) ในเคมีควอนตัม ในทางกลศาสตร์ควอนตัมนั้น โครงแบบอิเล็กตรอนของอะตอมถูกอธิบายเป็นฟังก์ชันคลื่น (wavefunctions) ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันคลื่นเหล่านี้สามารถบวกและลบกันได้และหลักการนี้ได้ถูกใช้ในการอธิบายการเกิดพันธะเคมี สำหรับโมเลกุลอะตอมคู่ อาทิ ไฮโดรเจน H  เลขควอนตัมโมเมนตัมเชิงมุม
เลขควอนตัมโมเมนตัมเชิงมุม บอกให้ทราบถึงจำนวนและชนิดของระดับพลังงานย่อย (subshell) ทำให้ทราบว่ามีจำนวนออร์บิทัลเท่าใด และเมื่อทราบจำนวนออร์บิทัลจะทราบว่าแต่ละออร์บิทัลทำมุมกันเท่าใด จึงทราบว่ารูปร่างของกลุ่มออร์บิทัลเป็นแบบใด ค่า ℓ ขึ้นกับเลขควอนตัมหลัก (n) มีค่าเป็นจำนวนเต็มบวกเสมอ (ℓ = 0, 1, 2, … ถึง n-1) พอล ดิแรก
ความท้าทายนักฟิสิกส์ในปัจจุบัน คือ การรวมแรงพื้นฐาน 4 แรงเข้าด้วยกัน ซึ่งก็คือ  การรวมทฤษฎีควอนตัมเข้ากับทฤษฎีสัมพัทธภาพ ซึ่งแยกพิจารณาเป็น 2 ส่วน คือ ส่วนเป็นภาคพิเศษกับภาคทั่วไป โดยเมื่อปี ค.ศ.1928 พอล ดิแรก ได้สร้างสมการซึ่งรวมทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ เข้ากับสมการกลศาสตร์ควอนตัมได้สำเร็จ รู้จักกันในชื่อ สมการดิแรก หรือ Dirac Equation  ค่าคงตัวของพลังค์
ค่าคงตัวของพลังค์ "h" นั้นได้ชื่อมาจาก มักซ์ พลังค์ ซึ่งเป็นหนึ่งในผู้บุกเบิกทฤษฎีกลศาสตร์ควอนตัม ค่าคงตัวของพลังค์เป็นปริมาณที่เกี่ยวข้องกับขนาดของควอนตา () และมีค่าเท่ากับ วิธีการแปรค่า (กลศาสตร์ควอนตัม)
วิธีการนี้เป็นวิธีการที่รู้ฮาร์มิลโตเนียน H แต่ไม่รู้ค่าไอเกน E (Eigenvalue) และ ค่าสถานะไอเกน (Eigenfunction) จึงต้องมีการเดา “ฟังก์ชันคลื่นทดสอบ” (trial wavefunction) ที่ขึ้นกับพารามิเตอร์อย่างน้อย 1 ตัวหรือมากกว่าและหาค่าพารามิเตอร์เหล่านี้ซึ่งเป็นค่าคาดหวังของพลังงานที่ต่ำที่สุด ฟังก์ชันคลื่นที่ได้จากการกำหนดค่าพารามิเตอร์ให้เป็นค่าหนึ่ง ๆ คือการประมาณฟังก์ชันคลื่นของสถานะพื้น และค่าคาดหวังของพลังงานในสถานะนั้น คือ ขีดจำกัดบนของพลังงานในสถานะพื้น ออร์บิทัลเชิงอะตอม
ออบิทัล เป็น[ฟังก์ชัน]]ทางคณิตศาสตร์ที่อธิบายคลื่นเหมือนพฤติกรรมของทั้ง อิเล็กตรอนหนึ่งหรือคู่ของอิเล็กตรอนในอะตอม ฟังก์ชันนี้สามารถใช้เพื่อคำนวณโอกาสในการหาอิเล็กตรอนของอะตอมใด ๆ หน้าที่เหล่านี้อาจเป็นกราฟสามมิติของสถานที่ที่น่าจะพบอิเล็กตรอน ระยะจึงอาจดูได้โดยตรงที่พื้นที่ทางกายภาพกำหนดโดยฟังก์ชันที่อิเล็กตรอน โดยที่ orbitals atomic เป็นควอนตัมเป็นไปได้ของอิเล็กตรอนแต่ละบุคคลในกลุ่มอิเล็กตรอนรอบอะตอม เดียวตามที่อธิบายโดยฟังก์ชันโคจร ทัศนศาสตร์
บางปรากฏการณ์อาศัยข้อเท็จจริงที่ว่าแสงมีคุณสมบัติเหมือนทั้งคลื่นและอนุภาค คำอธิบายฤทธิ์เหล่านี้ต้องอาศัยกลศาสตร์ควอนตัม เมื่อพิจารณาคุณสมบัติคล้ายอนุภาคของแสง มีการจัดแบบจำลองแสงเป็นกลุ่มอนุภาคที่เรียก "โฟตอน" ทัศนศาสตร์ควอนตัมว่าด้วยการนำกลศาสตร์ควอนตัมมาใช้กับระบบทัศนศาสตร์ กลศาสตร์
กลศาสตร์ (กรีก: ) เป็นสาขาหนึ่งของวิทยาศาสตร์ที่ว่าด้วยพฤติกรรมของวัตถุทางกายภาพเมื่อถูกแรงกระทำหรือเมื่อมีการกระจัด กลศาสตร์มีรากฐานมาจากอารยธรรมกรีซโบราณ งานเขียนของอาริสโตเติล และอาร์คิมิดีส นักวิทยาศาสตร์ในสมัยใหม่ตอนต้น เช่น โอมาร์ คัยยาม, กาลิเลโอ กาลิเลอี, โยฮันเนส เคปเลอร์, และโดยเฉพาะ ไอแซก นิวตัน เป็นผู้วางรากฐานกลศาสตร์ดั้งเดิม กลศาสตร์เป็นสาขาหนึ่งของฟิสิกส์ดั้งเดิมที่เกี่ยวข้องอนุภาคทั้งที่หยุดนิ่งและที่กำลังเคลื่อนที่ ด้วยความเร็วที่น้อยกว่าความเร็วแสง และเป็นสาขาหนึ่งของวิทยาศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่ของวัตถุและแรงที่กระทำต่อวัตถุ ทฤษฎีออร์บิทัลเชิงโมเลกุล
ทฤษฎีออร์บิทัลเชิงโมเลกุล () เป็นทฤษฎีที่อธิบายเกี่ยวกับโครงสร้างอิเล็กทรอนิกของโมเลกุลโดยไม่ได้พิจารณาว่าอิเล็กตรอนจะอยู่เฉพาะในพันธะระหว่างอะตอมเท่านั้น แต่พิจารณาว่าอิเล็กตรอนมีการเคลื่อนที่ไปทั่วโมเลกุลภายใต้อิทธิพลของนิวเคลียสทั้งหมดที่มีในโมเลกุลโดยตัวทฤษฎีใช้ความรู้เกี่ยวกับกลศาสตร์ควอนตัมในการอธิบายพฤติกรรมของอิเล็กตรอน เมื่อเรากล่าวถึงออร์บิทัลเชิงอะตอม (atomic orbitals; AOs) เราจะพิจารณาว่าออร์บิทัลประกอบด้วยอิเล็กตรอนที่อยู่รอบๆอะตอมหนึ่งๆนั้น ออร์บิทัลเชิงโมเลกุล (molecular orbitals; MOs) จะพิจารณาว่าประกอบด้วยเวเลนซ์อิเล็กตรอนของอะตอมต่างๆที่ประกอบกันเป็นโมเลกุลนั่นเอง โดยทฤษฎีออร์บิทัลเชิงโมเลกุลถูกเสนอขึ้นในช่วงต้นคริสต์ศตวรรษที่ 20 จากการศึกษาการเกิดพันธะเคมีโดยการประมาณตำแหน่งของอิเล็กตรอนที่เกิดพันธะหรือออร์บิทัลเชิงโมเลกุลเป็นการรวมกันเชิงเส้นตรงของออร์บิทัลเชิงอะตอม (Linear Combinations of Atomic Orbitals; LCAO) ซึ่งการประมาณนี้ในปัจจุบันจะประยุกต์ใช้ทฤษฎีฟังก์ชันนัลความหนาแน่น (Density Functional Theory; DFT) หรือ แบบจำลองฮาร์ทรี-ฟอกก์ (Hartree–Fock (HF) models) กับสมการชเรอดิงเงอร์ สมการชเรอดิงเงอร์ใน 3 มิติ
ปัญหาที่สำคัญหนึ่งในกลศาสตร์ควอนตัม คือ อนุภาคในศักย์ทรงกลมสมมาตร กล่าวคือ มีศักย์ที่ขึ้นอยู่กับระยะห่างระหว่างอนุภาคและจุดศูนย์กลางที่กำหนดไว้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าอนุภาคนั้น คือ อิเล็กตรอนและมีศักย์เป็นไปตามกฎของคูลอมบ์ ปัญหานี้จะสามารถใช้อธิบายอะตอมหรือไอออนของไฮโดรเจน  แฮมิลโทเนียน (กลศาสตร์ควอนตัม)
มีการประยุกต์ใช้แฮมิลโทเนียนในระบบที่ใช้สมการคลื่น "Ψ"(r, "t") (wave function) มาอธิบาย โดยวิธีนี้ก็เป็นวิธีการแบบทั่วๆไปในการแก้สมการของทางกลศาสตร์ควอนตัม อะตอม
อนุภาคมูลฐานจะมีคุณสมบัติภายในเชิงกลศาสตร์ควอนตัมประการหนึ่งรู้จักกันในชื่อ สปิน หากเปรียบเทียบก็อาจคล้ายคลึงกับโมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุที่หมุนรอบจุดศูนย์กลางมวลของตัวเอง แม้ว่าถ้าจะพูดให้เคร่งครัดแล้ว อนุภาคเหล่านี้มีลักษณะเป็นเหมือนจุดซึ่งไม่สามารถบอกได้ว่ามันกำลังหมุน การวัดค่าสปินใช้หน่วยของค่าคงที่ของพลังค์ (ħ) โดยที่อิเล็กตรอน โปรตอน และนิวตรอน ล้วนมีค่าสปิน ½ħ, or "spin-½" ในอะตอมหนึ่ง ๆ อิเล็กตรอนที่เคลื่อนที่ไปรอบนิวเคลียสจะมีโมเมนตัมเชิงมุมในวงโคจรเพิ่มไปกับสปินของมัน ขณะที่ตัวนิวเคลียสเองนั้นมีโมเมนตัมเชิงมุมขึ้นกับนิวเคลียร์สปินของมัน[85] พอล ดิแรก
ดิแรกได้รับการยกย่องในฐานะหนึ่งในบิดาของควอนตัวฟิสิกส์ เขาเขียนตำราเกี่ยวกับวิชาควอนตัมชื่อว่า The Principle of Quantum Mechanics ซึ่งตีพิมพ์ครั้งแรกในปี ค.ศ.1930 และยังคงถือเป็น "คำภีร์ไบเบิล" ของวิชากลศาสตร์ควอนตัมจนถึงปัจจุบัน   กลศาสตร์ควอนตัม
Speakable and unspeakable in Quantum mechanics by John Bell (Cambridge UP, 1989) Quantum: A guide for the perplexed by Jim Al-Khalili ( Weidenfeld & Nicolson, 2003) 25 ความคิดพลิกโลก (วี.วิชช์.สำน้กพิมพ์, 2551) อะตอม
ในแบบจำลองมาตรฐานทางฟิสิกส์ ทั้งโปรตอนและนิวตรอนต่างประกอบด้วยอนุภาคมูลฐานเรียกว่า ควาร์ก ควาร์กเป็นหนึ่งในสองชนิดของกลุ่มอนุภาคเฟอร์มิออนซึ่งเป็นองค์ประกอบพื้นฐานของสสาร องค์ประกอบอีกตัวหนึ่งคือเลปตอน ซึ่งมีอิเล็กตรอนเป็นส่วนประกอบ ควาร์กมีอยู่ 6 ประเภท แต่ละประเภทมีประจุไฟฟ้าเป็นเศษส่วนที่แตกต่างกันคือ +2/3 หรือ −1/3 โปรตอนประกอบด้วยอัพควาร์ก 2 ตัวและดาวน์ควาร์ก 1 ตัว ขณะที่นิวตรอนประกอบด้วยอัพควาร์ก 1 ตัวและดาวน์ควาร์ก 2 ตัว ความแตกต่างนี้เป็นตัวบ่งบอกถึงความแตกต่างของมวลและประจุระหว่างอนุภาคสองชนิด ควาร์กยึดเหนี่ยวกันไว้ได้ด้วยแรงนิวเคลียร์อย่างเข้ม ซึ่งเป็นลักษณะของกลูออน กลูออนเป็นอนุภาคชนิดหนึ่งในตระกูลเกจโบซอน ซึ่งเป็นอนุภาคมูลฐานทางด้านแรงปฏิกิริยาทางฟิสิกส์[47][48] ประวัติศาสตร์ฟิสิกส์
ในกลศาสตร์ควอนตัม ผลที่ได้จากการวัดทางฟิสิกส์ต้องขึ้นอยู่กับ ความน่าจะเป็น โดยปกติ ทฤษฎีได้บรรยายการคำนวณความน่าจะเป็นหล่านี้ มันประสบความสำเร็จในการบรรยายพฤติกรรมของสสารในระดับความยาวเล็ก ๆ  กลศาสตร์ควอนตัม
กลศาสตร์ควอนตัม หมวดหมู่:กลศาสตร์ หมวดหมู่:หลักการสำคัญของฟิสิกส์ สมการชเรอดิงเงอร์
ในวิชากลศาสตร์ควอนตัม สมการชเรอดิงเงอร์ เป็นสมการทางคณิตศาสตร์ที่ใช้อธิบายระบบทางฟิสิกส์ ที่เป็นผลจากปรากฏการณ์ควอนตัม เช่น ทวิภาคของคลื่นและอนุภาค สมการชเรอดิงเงอร์เป็นสมการที่สำคัญในการศึกษาระบบทางกลศาสตร์ควอนตัม ซึ่งแอร์วิน ชเรอดิงเงอร์ (Erwin Schrödinger) นักฟิสิกส์ชาวออสเตรีย ได้ค้นพบ "สมการชเรอดิงเงอร์" ในปี พ.ศ. 2468 และถูกตีพิมพ์ในปีต่อมา จากการค้นพบสมการชเรอดิงเงอร์ ทำให้แอร์วิน ชเรอดิงเงอร์ได้รับรางวัลโนเบล สาขาฟิสิกส์ ในปี พ.ศ. 2476 สมการนี้เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยหรือที่รู้จักกันว่าสมการคลื่น โดยสามารถแก้สมการชเรอดิงเงอร์เพื่อหาพฤติกรรมการเคลื่อนที่ของคลื่นได้ การเดินทางข้ามเวลา
แนวคิดจักรวาลคู่ขนานอาจจะถูกเสนอแนะให้เป็นวิธีการที่จะออกจากปัญหาของความขัดแย้งหรือปฏิทรรศน์ได้ การตีความแบบพหุโลกของอีเวอเรตต์ (Everett's many-worlds interpretation หรือ (MWI)) ในกลศาสตร์ควอนตัมแสดงให้เห็นว่าเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นนั้นมีความเป็นไปได้ทั้งหมดทางควอนตัมที่จะสามารถเกิดขึ้นได้ในประวัติศาสตร์พิเศษร่วมกัน [29] จักรวาลแบบมีทางเลือก, หรือจักรวาลแบบคู่ขนานเหล่านี้, จะเปรียบเทียบได้กับรูปสัญลักษณ์ของต้นไม้ที่จะแผ่กิ่งก้านสาขาออกไปที่จะแทนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการมีปฏิสัมพันธ์ใด ๆ ในเส้นทางประวัติศาสตร์แต่ละเส้นทางนั้น ถ้าความเป็นไปได้ของเหตุการณ์ที่สามารถเกิดขึ้นได้ทั้งหมดนั้นมีอยู่จริง, ปฏิทรรศน์ หรือ ความขัดแย้งใด ๆ อาจจะสามารถอธิบายได้โดยมีเหตุการณ์ที่มีปฏิทรรศน์ หรือ ความขัดแย้งได้เกิดขึ้นในจักรวาลที่มีความแตกต่างกันเหล่านั้น แนวคิดนี้มักจะถูกนำไปใช้ในนิยายวิทยาศาสตร์เป็นส่วนใหญ่ แต่นักฟิสิกส์บางคน เช่น เดวิด ด๊อยท์สช (David Deutsch) ได้ชี้ให้เห็นว่า ความเป็นไปได้ทั้งหมดของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในจักรวาลที่มีความแตกต่างกันนั้น จะเกิดขึ้นได้ถ้าการเดินทางข้ามเวลามีความเป็นไปได้จริง และ หลัก MWI นั้นมีความถูกต้อง อนุภาคย่อยของอะตอม
เคมีศาสตร์มีความกังวลตัวเองเกี่ยวกับวิธีการที่อิเล็กตรอนที่ใช้ร่วมกันผูกกับหลายอะตอมกลายเป็นโครงสร้างเช่นผลึกและโมเลกุล ฟิสิกส์นิวเคลียร์จะเกี่ยวข้องกับวิธีการที่โปรตอนและนิวตรอนจัดเรียงตัวพวกมันเองในนิวเคลียส การศึกษาด้านอนุภาคของอะตอม อะตอมและโมเลกุล และโครงสร้างและการมีปฏิสัมพันธ์ของพวกมัน ต้องใช้กลศาสตร์ควอนตัม กระบวนการการวิเคราะห์ที่เปลี่ยนจำนวนและชนิดของอนุภาคต้องใช้ทฤษฎีสนามควอนตัม การศึกษาเกี่ยวกับตัวอนุภาคของอะตอมเองเรียกว่าฟิสิกส์ของอนุภาค คำว่าฟิสิกส์พลังงานสูงเกือบจะพ้องกับ "ฟิสิกส์ของอนุภาค" เนื่องจากการก่อตั้งอนุภาคต้องใช้พลังงานสูง มันจะเกิดขึ้นได้เป็นผลมาจากรังสีคอสมิกหรือในเครื่องเร่งอนุภาคเท่านั้น ปรากฏการณ์วิทยาด้านอนุภาคเป็นวิชาการที่จัดระบบความรู้เกี่ยวกับอนุภาคของอะตอมที่ได้รับจากการทดลองเหล่านี้ ควอนตัมดอต
มีหลายวิธีที่จะกระตุ้นสารกึ่งตัวนำ ทำให้มีหลายวิธีที่จะผลิตควอนตัมดอท โดยทั่วไป เส้นควอนตัม ควอนตัมเวล และควอนตัมดอทจะเพิ่มขึ้นด้วยเทคนิคอีพิแทกเชียล ในการผลิตผลึกนาโนโดยวิธีทางเคมี หรือโดยการถ่ายเทไอออน หรือในการแบ่งระดับนาโนโดยเทคนิคลิโทกราฟิก
ผลึกนาโนของสารกึ่งตัวนำที่เป็นคอลลอยด์สังเคราะห์ขึ้นโดยสารเริ่มต้นที่ละลายในสารละลายเช่นเดียวกับกระบวนการทางเคมีทั่วไป การสังเคราะห์ควอนตัมดอทแบบคอลลอยด์มีพื้นฐานจากองค์ประกอบหลัก 3 ประการคือ สารเริ่มต้น สารลดแรงตึงผิวอินทรีย์ และตัวทำละลาย เมื่อให้ความร้อนแก่ปฏิกิริยาจนได้อุณหภูมิสูงเพียงพอ สารเริ่มต้นจะเปลี่ยนรูปทางเคมีไปเป็นโมโนเมอร์ เมื่อโมโนเมอร์เกิดการอิ่มตัวยวดยิ่งจนถึงระดับที่เพียงพอจะเริ่มเกิดผลึกนาโน โดยมีกระบวนการก่อนิวเคลียส อุณหภูมิระหว่างการเติบโตเป็นปัจจัยสำคัญอย่างหนึ่ง ในการหาสภาวะที่เหมาะสมสำหรับการเติบโต ของผลึกนาโน ซึ่งควรจะสูงเพียงพอสำหรับการจัดตัวใหม่และการคลายตัวของอะตอมระหวางกระบวนการสังเคราะห์ ซึ่งควรจะต่ำจนเพียงพอที่จะสนับสนุนการเติบโตของผลึก ปัจจัยสำคัญอีกประการหนึ่งที่ต้องควบคุมระหว่างการเติบโตของผลึกคือความเข้มข้นของโมโนเมอร์ กระบวนการเติบโตของผลึกนาโนจะเกิดขึ้นได้สองแบบคือแบบเน้นและแบบไม่เน้น ความเข้มข้นของโมโนเมอร์ที่สูง ขนาดวิกฤต (ขนาดที่ผลึกนาโนจะไม่มีการเติบโต)จะเล็กมาก ทำให้มีการเติบโตของอนุภาคทั้งหมด ในระบบนี้ อนุภาคที่เล็กกว่าจะเติบโตได้เร็วกว่าอันที่ใหญ่กว่า ทำให้มีการเน้นที่การกระจายตัวของขนาดต่อผลที่ได้จนเกือบจะเป็นอนุภาคที่มีการกระจายตัวแบบเดียว การเน้นที่ขนาดจะเหมาะสมเมื่อความเข้มข้นของโมโนเมอร์คงที่ เช่น ค่าเฉลี่ยของขนาดผลึกนาโนที่ปรากฏจะใหญ่กว่าขนาดวิกฤติเล็กน้อย เมื่อความเข้มข้นของโมโนเมอร์หมดลงระหว่างการเติบโต ขนาดวิกฤติจะใหญ่กว่าขนาดเฉลี่ยที่ปรากฏทำให้เกิดการกระจายตัวแบบไม่เน้น ตัวดำเนินการในกลศาสตร์ควอนตัม
เมื่อ "c" = formula_9 เป็นจำนวนเชิงซ้อนและเป็นปริมาณที่เกิดจากการ projection ค่า formula_10 ลงบน formula_7 ซึ่ง |"c"| = "c""c" คือ โอกาสในการพบอนุภาคในสถานะ formula_7 Degeneracy
ในวิชากลศาสตร์ควอนตัม  ระดับพลังงานจะเกิดการDegenerateได้ก็ต่อเมื่อ สถานะทาง ควอนตัม (quantum) มีความแตกต่างกันตั้งแต่ 2 สถานะขึ้นไป หรือจะพูดได้อีกอย่างหนึ่งว่า สถานะทางกลศาสตร์ควอนตัมที่มีความแตกต่างกันตั้งแต่ 2 สถานะขึ้นไป มีค่าพลังงานที่เท่ากันนั้นแสดงว่าเกิดDegeneratcy จำนวนความแตกต่างนั้นบอกได้ถึงระดับพลังงานที่มีค่าเฉพาะ ซึ่งสามารถดูได้จาก Degre of Degenerate สามารถเขียนสมการทางคณิตศาสตร์โดยสมการของฮามิลโทเนียน (Hamiltonian)สำหรับระบบที่มีฟังก์ชันคลื่นที่อิสระต่อกันมากกว่า 1 ร่วมกับการมีค่าของระดับพลังงานเดียวกัน  รายชื่อสมการในกลศาสตร์ดั้งเดิม
กลศาสตร์ดั้งเดิมเป็นหนึ่งในสาขาของฟิสิกส์ที่อธิบายถึงการเคลื่อนที่ของวัตถุขนาดใหญ่ ทฤษฎีของกลศาสตร์ดั้งเดิมเป็นสิ่งที่คนคุ้นเคยที่สุดในฟิสิกส์ทั้งหมด โดยแนวคิดจะครอบคลุมถึงมวล ความเร่ง และ แรง ซึ่งเป็นสิ่งที่ใช้เป็นปกติและเป็นที่รู้จัก สาขานี้ถูกขึ้นกับปริภูมิยูคลิดสามมิติด้วยแกนคงที่ เรียกว่ากรอบอ้างอิง โดยจุดตัดของแกนทั้งสามเรียกได้อีกชื่อหนึ่งว่าจุดกำเนิดของปริภนา คาบ (ตารางธาตุ)
กลศาสตร์ควอนตัมสมัยใหม่อธิบายการวนซ้ำของคุณสมบัติเคมีของธาตุเหล่านี้โดยใช้ชั้นของอิเล็กตรอน อิเล็กตรอนจะถูกเติมในชั้นอิเล็กตรอนตามลำดับที่แสดงในแผนภาพด้านขวาตามเลขอะตอมที่เพิ่มขึ้น การเพิ่มอิเล็กตรอนภายในชั้นเทียบได้กับคาบในตารางธาตุ กลศาสตร์เมทริกซ์
กลศาสตร์เมทริกซ์ () เป็นวิธีการที่คิดค้นโดย แวร์เนอร์ ไฮเซนแบร์ก (Werner Heisenberg), แมกซ์ บอร์น (Max Born), และ ปาสควาล จอร์ดาน (Pascual Jordan) เมื่อ ค.ศ. 1925 เพื่อมาใช้อธิบายกลศาสตร์ควอนตัม แฮมิลโทเนียน (กลศาสตร์ควอนตัม)
จากการเปรียบเทียบกับกลศาสตร์แบบดั้งเดิมของระบบอนุภาคเดี่ยว (classical mechanics) แฮมิลโทเนียนมักจะเขียนอยู่ในรูปของตัวดำเนินการที่สอดคล้องกับค่าผลรวมของพลังงานจลน์และผลรวมของพลังงานศักย์ในระบบในรูปแบบดังนี้ การทดลองของสเติร์น-เกอร์แลค
ในยุคที่ทำการทดลอง แบบจำลองดีที่สุดที่ใช้อธิบายอะตอมคือแบบจำลองของบอร์ ซึ่งบอกว่าอิเล็กตรอนเคลื่อนที่ไปรอบๆ นิวเคลียสประจุบวกภายในขอบเขตออร์บิทัลของอะตอมที่แยกเป็นชั้นๆ ตามระดับพลังงาน โดยเหตุที่อิเล็กตรอนถูกควอนไตซ์ให้มีตำแหน่งที่แน่นอนในอวกาศ การแบ่งแยกเป็นระดับชั้นพลังงานที่แยกกันนี้จึงเรียกว่าเป็นการควอนไตซ์ในอวกาศ (space quantization) การทดลองของสเติร์น-เกอร์แลคต้องการทดสอบสมมุติฐานของบอร์-ซอมเมอร์เฟลด์ว่าทิศทางของโมเมนตัมเชิงมุมของอะตอมธาตุเงินนั้นควอนไตซ์จริงหรือไม่ การเคลื่อนที่ (ฟิสิกส์)
นอกจากการอธิบายการเคลื่อนที่ในระดับอะตอมแล้วกลศาสตร์ควอนตัมยังเป็นประโยชน์ในการทำความเข้าใจปรากฏการณ์ที่มีขนาดใหญ่เช่น ของไหลยวดยิ่ง สภาพนำยวดยิ่ง และระบบชีวภาพรวมทั้งการทำงานของเซลล์รับกลิ่นและโครงสร้างของโปรตีน วิธีการแปรค่า (กลศาสตร์ควอนตัม)
ในกลศาสตร์ควอนตัม วิธีการแปรค่า (Variational method) เป็นวิธีหนึ่งในการหาค่าประมาณของสถานะที่พลังงานต่ำสุดหรือสถานะพื้น (Ground state) และสถานะกระตุ้น (Excited state) บางสถานะได้ วิธีการนี้จะช่วยในการประมาณฟังก์ชันคลื่น ได้ เช่น ระดับพลังงานย่อยของโมเลกุล (Molecular orbitals) โดยพื้นฐานสำหรับวิธีการนี้คือ หลักการแปรค่า (Variational principle) ฟิสิกส์อะตอม โมเลกุล และทัศนศาสตร์
เมื่อศาสตร์ทั้งสามนี้ได้รับการพัฒนาขึ้น ซึ่งเป็นการพัฒนาที่ขนานไปกับพัฒนาการของกลศาสตร์ควอนตัม ความเชื่อมโยงกันระหว่างสาขาก็มีมากขึ้น และ หลอมรวมเข้าด้วยกันตามกาลเวลา ความเชื่อมโยงยิ่งมีมากขึ้นไปอีกเมื่อมีการประดิษฐ์ เลเซอร์ ขึ้นในห้องปฏิบัติการ ซึ่งโดยตัวของมันเองแล้ว เลเซอร์ ก็คือผลพวงหนึ่งของความรู้ความเข้าใจใน ฟิสิกส์อะตอม โมเลกุล และทัศนศาสตร์ แฮมิลโทเนียน (กลศาสตร์ควอนตัม)
เป็นตัวดำเนินการของพลังงานจลน์ เมื่อ m คือมวลของอนุภาค เครื่องหมาย dot บอกถึงผลการหาค่า dot ของเวกเตอร์ และ ตัวดำเนินการในกลศาสตร์ควอนตัม
https://en.wikipedia.org/wiki/Operator_(physics) แรง
ในศตวรรษที่ 20 การพัฒนากลศาสตร์ควอนตัมนำไปสู่ความเข้าใจสมัยใหม่ว่าแรงพื้นฐานทั้งสาม(ยกเว้นแรงโน้มถ่วง)เป็นปรากฏการณ์ของ สสาร(เฟอมิออนส์) ที่มีปฏิกิริยาโดยการแลกเปลี่ยนกับ ปฏิอนุภาคที่เรียกว่า เกจ โบซอน แบบจำลองมาตรฐานฟิสิกส์ของอนุภาคนี้อนุมานถึงความคล้ายคลึงกันระหว่างแรง และทำให้นักวิทยาศาสตร์สามารถคาดเดาการรวมตัวกันของแรงแบบอ่อน และแรงแม่เหล็กไฟฟ้า ในทฤษฎีอิเล็กโตร-วีค ซึ่งได้รับการยืนยันในภายหลังโดยการสังเกต ซึ่งรูปแบบที่สมบูรณ์ของแบบจำลองมาตรฐาน ได้ทำการสังเกตการณ์การสั่นของอนุภาคนิวทริโน ซึ่งบอกได้ว่าโมเดลมาตรฐานนั้นไม่สมบูรณ์  สมการชเรอดิงเงอร์
ในกลศาสตร์ดั้งเดิม กฎการเคลื่อนที่ของนิวตันโดยเฉพาะกฎข้อที่สอง จะสามารถอธิบายการเคลื่อนที่ของอนุภาคโดยแสดงให้เห็นถึงตำแหน่ง ความเร็ว และความเร่งของอนุภาคที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา โดยใช้สมการการเคลื่อนที่ในการทำนายการเคลื่อนที่ของอนุภาคในระบบ แต่ในกลศาสตร์ควอนตัม พฤติกรรมของอนุภาคจะถูกอธิบายโดยฟังก์ชันคลื่น ดังนั้นเราจึงสามารถแก้สมการชเรอดิงเงอร์เพื่อหาผลเฉลยออกมาเป็นฟังก์ชันคลื่น โดยสมการชเรอดิงเงอร์นี้เป็นการอธิบายธรรมชาติในระดับจุลภาค ทวิภาคคลื่น–อนุภาค
ทวิภาคของคลื่น–อนุภาค () เป็นสมมติฐานที่กล่าวว่าอนุภาคทุกชนิดมีคุณสมบัติที่เป็นทั้งคลื่นและอนุภาค และในทางกลับกันคลื่นก็จะมีทั้งคุณสมบัติของคลื่นเองและอนุภาคด้วย แนวคิดนี้เป็นศูนย์กลางของกลศาสตร์ควอนตัม ซึ่งเกิดขึ้นเนื่องจากการที่แนวคิดแบบดั้งเดิมเกี่ยวกับ "อนุภาค" และ "คลื่น" ไม่สามารถใช้อธิบายพฤติกรรมของวัตถุในระดับของควอนตัมได้ การแปลความกลศาสตร์ควอนตัมมาตรฐานอธิบายปฏิทรรศน์นี้ว่าเป็นคุณสมบัติพื้นฐานของเอกภพ ขณะที่การแปลความแบบอื่นๆ อธิบายลักษณะทวิภาคนี้ว่าเป็นผลสืบเนื่องที่เกิดขึ้นมาจากขีดจำกัดต่างๆ อันหลากหลายของผู้สังเกตการณ์เอง ในที่นี้จะมุ่งประเด็นไปที่การอธิบายพฤติกรรมนี้จากมุมมองของการตีความโคเปนเฮเกน (Copenhagen interpretation) ซึ่งนิยมใช้กันอย่างกว้างขวาง โดยถือว่าความเป็นทวิภาคของคลื่น-อนุภาค เป็นรูปแบบหนึ่งของหลักการการเติมเต็ม (complementarity) ว่าปรากฏการณ์หนึ่งๆ สามารถมองได้ทั้งในทางหนึ่งหรืออีกทางหนึ่งก็ได้ แต่จะไม่สามารถมองได้ทั้งสองทางพร้อมๆ กัน ทฤษฎีสนามควอนตัม
สนามคลาสสิกเป็นฟังก์ชันที่กำหนดไว้เหนือบริเวณบางส่วนของอวกาศและเวลา สองปรากฏการณ์ที่ได้รับการอธิบายโดยสนามแบบคลาสสิกคือ ความโน้มถ่วงของนิวตันอธิบายโดยสนามแรงโน้มถ่วงของนิวตัน g(x, "t"), ตัวดำเนินการในกลศาสตร์ควอนตัม
formula_3 กลศาสตร์ดั้งเดิม
หลาย ๆ สาขาของกลศาสตร์ดั้งเดิมเป็นการประมาณการของรูปแบบที่มีความถูกต้องกว่า ซึ่งกลศาสตร์ดั้งเดิมที่มีความถูกต้องที่สุด 2 อัน คือ ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ และ กลศาสตร์เชิงสถิติแบบสัมพัทธภาพ เช่น ทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิตเป็นการประมาณของทฤษฎีควอนตัมของแสง และไม่มีรูปแบบที่ดีกว่านี้ในกลศาสตร์ดั้งเดิมอีก ควอนตัมดอต
ควอนตัมดอต () เป็นวัสดุที่มีขนาดเล็กมากเพียงไม่กี่นาโนเมตร ประกอบขึ้นจากอนุภาคของสารกึ่งตัวนำ และเนื่องจากขนาดดังกล่าว วัสดุชนิดนี้จึงมีคุณสมบัติทางแสงและอิเล็กทรอนิกส์ที่แตกต่างจากสารที่มีอนุภาคขนาดใหญ่ ควอนตัมดอตสามารถเปล่งแสงที่มีความถี่เฉพาะหากได้รับกระแสไฟฟ้า หรือ มีแสงมาตกกระทบ นอกจากนั้นการเปลี่ยนขนาด รูปร่าง และชนิดของสสาร ยังสามารถเปลี่ยนความถี่ของแสงที่ออกมาได้อย่างแม่นยำ จึงทำให้เทคโนโลยีดังกล่าวสามารถถูกนำไปประยุกตใช้ได้อย่างมากมาย ตัวดำเนินการในกลศาสตร์ควอนตัม
การคำนวณทางคณิตศาสตร์ของกลศาสตร์ควอนตัม ถูกสร้างขึ้นตามแนวคิดของตัวดำเนินการ กล่าวคือ ปริมาณที่สังเกตหรือที่วัดได้ในทางกายภาพของอนุภาคจากการทดลอง เช่น ตำแหน่ง โมเมนตัมเชิงเส้น พลังงาน โมเมนตัมเชิงมุม เป็นต้น สามารถแทนได้ด้วยตัวดำเนินการ A ใด ๆ ในกลศาสตร์ควอนตัม หากต้องการทราบข้อมูลหรือปริมาณดังกล่าวจะต้องใช้ตัวดำเนินการทางคณิตศาสตร์มากระทำกับฟังก์ชันไอเกนของอนุภาคนั้น ๆ ดังนั้น ผลของการวัดจะทำให้ฟังก์ชันไอเกนของอนุภาคกลายเป็นฟังก์ชันไอเกนที่สอดคล้องกับตัวดำเนินการ ตามสมการ  วิลเลียม โรวัน แฮมิลตัน
อาชีพในทางวิทยาศาสตร์ของวิลเลียม โรวัน แฮมิลตัน ที่รวมไปด้วยการศึกษาในเรื่อง เลนส์ กระจก การมองเห็น กลศาสตร์ดั่งเดิม, การประยุกต์ของวิธีการแบบไดนามิกในระบบแสง, การประยุกต์ใช้วิธีการควอนเทอเนียนและเวกเตอร์สำหรับปัญหาในกลศาสตร์และเรขาคณิต, การพัฒนาทางทฤษฎีของการแปรผันทางพีชคณิตของฟังก์ชันคู่ (ซึ่งก็คือจำนวนเชิงซ้อนที่เป็นคู่อันดับของจำนวนจริงที่ถูกสร้างขึ้น), การแก้ปัญหาของสมการพหุนามทั่วๆไป, การวิเคราะห์ฟังชันผันผวน (มาจากแนวคิดของการวิเคราะห์ฟูเรีย, Fourier analysis), การดำเนินการเชิงเส้นบนคอวนเทอเนียนและการพิสูจน์ผลเฉลยสำหรับตัวดำเนินการเชิงเส้นบนพื้นที่ของควอนเทอเนียน (เป็นพื้นที่แบบทั่วๆไปที่รู้จักกันในชื่อของ Cayley–Hamilton theorem) 