สมการเชิงอนุพันธ์ หมายถึงอะไร?
สมการเชิงอนุพันธ์
สมการเชิงอนุพันธ์ (Differential equation) หมายถึง สมการที่มีอนุพันธ์ต่างๆของฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่า (unknown function) หนึ่งฟังก์ชันหรือมากกว่าหนึ่งฟังก์ชันปรากฏอยู่ คำว่า Differential equation (aequatio differentialis) เริ่มใช้โดย ไลน์นิตซ์ ในปี ค.ศ. 1676
อนุพันธ์
ในสัญกรณ์ของไลบ์นิซ การเปลี่ยนแปลงที่น้อยมากของ แสดงได้เป็น และอนุพันธ์ของ เทียบกับ เขียนได้ดังนี้
แสดงถึงอัตราส่วนของปริมาณที่น้อยมากสองปริมาณ (ข้างบนอ่านว่า "อนุพันธ์ของ "y" เทียบกับ "x"" หรือ "d y บาย d x" รูปแบบ "d y d x" นี้ใช้กันในการสนทนาอย่างบ่อยครั้ง แต่มันอาจทำให้สับสนได้) ระบบสมการเชิงเส้น
บ่อยครั้ง สัมประสิทธิ์ของสมการเป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน และผลเฉลยหาได้โดยชุดจำนวนเดียวกัน แต่ทฤษฎีและขั้นตอนวิธีนี้ใช้ได้กับสัมประสิทธิ์และผลเฉลยในทุกสาขา สำหรับผลเฉลยในโดเมนปริพันธ์อย่างริงของจำนวนเต็ม หรือในโครงสร้างพีชคณิตอื่น ได้มีการพัฒนาทฤษฎีอื่นออกมา กำหนดการเชิงเส้นจำนวนเต็มเป็นการรวมวิธีสำหรับการหาผลเฉลยจำนวนเต็ม "ที่ดีที่สุด" (เมื่อมีหลายผลเฉลย) แคลคูลัส
แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ศึกษาวิธีการหาปริพันธ์ (อินทิกรัล, Integral) ของฟังก์ชัน ซึ่งอาจนิยามจากลิมิตของผลรวมของพจน์ (ซึ่งเรียกว่าลิมิตของผลรวมรีมันน์) แต่ละพจน์นั้นคือพื้นที่ที่เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าแต่ละแถบใต้กราฟของฟังก์ชัน ทำให้การอินทิเกรตเป็นวิธีที่ได้ผลวิธีหนึ่งในการหาพื้นที่ใต้กราฟ และพื้นที่ผิว และปริมาตรของแข็งเช่นทรงกลมและทรงกระบอก ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ
หมายความว่า formula_73 และ formula_74 และ formula_75 และ formula_76. ตัวยกเป็นดัชนีของ contravariant indices ในส่วนนี้มากกว่าจะเป็นเลขชี้กำลังเว้นเสียแต่ว่าเมื่อมันหมายถึงยกกำลังสอง ส่วนตัวห้อยเป็น covariant indices ซึ่งเรียงจากศูนย์ไปถึงสามเมื่อใช้กับ spacetime gradient ของสนาม φ: อนุกรม
∑ n = 0 ∞ a n = lim N → ∞ S N = lim N → ∞ ∑ n = 0 N a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\lim _{N\to \infty }S_{N}=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=0}^{N}a_{n}} แคลคูลัสกับพหุนาม
เนื่องจากการหาอนุพันธ์เป็น การแปลงเชิงเส้น จะได้ อนุภาคมูลฐาน
แบบจำลองมาตรฐานของฟิสิกส์ของอนุภาคประกอบด้วย 12 สายพันธ์ () ของเฟอร์มิออนมูลฐานบวกกับปฏิยานุภาค () ที่สอดคล้องกันของพวกมัน เช่นเดียวกับโบซอนมูลฐานที่ตัวเชื่อมแรงต่าง ๆ กับและฮิกส์โบซอน ซึ่งมีรายงานเมื่อวันที่ 4 กรกฎาคม 2012 ว่าดูเหมือนจะมีการตรวจพบโดยการทดลองหลักที่ LHC (ATLAS และ Compact Muon Solenoid (CMS)) อย่างไรก็ตาม แบบจำลองมาตรฐานได้รับการพืจารณาอย่างกว้างขวางที่จะเป็นทฤษฎีชั่วคราวมากกว่าจะเป็นทฤษฏีพื้นฐานอย่างแท้จริง เพราะมันไม่เป็นที่รู้จักว่ามันจะเข้ากันได้กับกฎสัมพัทธภาพทั่วไปของ Einstein หรือไม่ อาจจะมีอนุภาคมูลฐานที่ยังเป็นสมมติฐานอยู่ไม่ได้มีการอธิบายโดยแบบจำลองมาตรฐาน เช่นแกรวิตอน ซึ่งเป็นอนุภาคที่จะนำส่งแรงโน้มถ่วง และซูเปอร์พันธมิตรที่เรียกว่า sparticles ซึ่งเป็นพันธมิตรแบบ supersymmetric ของอนุภาคสามัญ จำนวนเชิงซ้อน
อย่างที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น formula_10 เป็นปริภูมิเวกเตอร์สองมิติบน formula_104 เราได้ว่าการแปลงเชิงเส้นบน formula_105 (formula_104-linear map) ทุกตัวจะสามารถเขียนได้ในรูป
เมื่อ formula_13 และ formula_14 เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ เราได้ว่าฟังก์ชัน formula_110 เป็นการหมุนและการยืดเวกเตอร์ ส่วนฟังก์ชัน formula_111 นั้นประกอบด้วยการหมุน การพลิก และการยืดเวกเตอร์ในฟังก์ชันเดียว สังเกตว่า formula_112 เท่านั้นที่เป็นการแปลงเชิงเส้นบน formula_10 และเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก เราสามารถหาอนุพันธ์ของ formula_114 ได้ในเซตของจำนวนจริง แต่อนุพันธ์นั้นไม่สอดคล้องกับสมการโคชี-รีมันน์ สมดุลทางกลศาสตร์
ระบบจะคงความเสถียรภาพไว้ ถ้าระบบไม่ถูกรบกวน และเพื่อหาเสถียรภาพของระบบ จะต้องมีการตรวจสอบอนุพันธ์ระดับสูงขึ้น ระบบจะอยู่ในสถานะสมดุลไม่เสถียร ถ้าอนุพันธ์ต่ำสุดที่ไม่เท่ากับศูนย์เป็นจำนวนคี่ หรือมีค่าเป็นลบ แต่ถ้าอนุพันธ์ต่ำสุดที่ไม่เท่ากับศูนย์เป็นจำนวนคู่ หรือมีค่าเป็นบวก แสดงว่าระบบอยู่ในสถานะสมดุลเสถียร สำหรับอนุพันธ์ระดับสูงขึ้นยังคงเท่ากับศูนย์ แสดงว่าไม่สามารถบอกถึงเสถียรภาพของสมดุลได้ ตราสารอนุพันธ์
ตราสารอนุพันธ์อีกประเภทที่เกิดขึ้นในประเทศไทยมาไม่นานมากนัก คือ สัญญาซื้อขายล่วงหน้าดัชนีหลักทรัพย์ SET 50 (SET50 Index Futures) ซึ่งดำเนินการซื้อขายที่ตลาดอนุพันธ์ ซึ่งบริหารจัดการโดย บริษัท ตลาดอนุพันธ์ (ประเทศไทย) จำกัด (มหาชน) เป็นบริษัทย่อยของตลาดหลักทรัพย์แห่งประเทศไทย (TFEX) เป็นตลาดที่ทำหน้าที่ซื้อขายล่วงหน้าดัชนีหลักทรัพย์ SET 50 ของประเทศไทย เป็นการใช้สัญญาซื้อขายล่วงหน้าเข้ามาในการป้องกันความเสี่ยงจากการลงทุนในตลาดหลักทรัพย์ โดยที่นักลงทุนจะสามารถเลือกลงทุนตามปกติในตลาดหลักทรัพย์ และเลือกลงทุนใน SET 50 Index Futures เพิ่มเติม เพื่อเป็นการป้องกันไม่ให้เกิดการขาดทุนจากการลงทุนในตลาดหลักทรัพย์ ถ้าราคาของหลักทรัพย์เปลี่ยนแปลงไปในทิศทางที่ไม่ต้องการให้เป็น เช่น หากนักลงทุนเลือกลงทุนอยู่ในหลักทรัพย์หลายชนิด แต่กลัวว่าราคาของหลักทรัพย์เหล่านั้น จะมีราคาที่ลดลงทำให้เกิดการขาดทุนจากการลงทุน นักลงทุนดังกล่าวก็สามารถที่จะเข้ามาลงทุนใน SET 50 Index Futures ได้ เพื่อเป็นการป้องกันในกรณีที่ราคาหลักทรัพย์ลดลง ผู้ลงทุนก็จะขาดทุนจากการลงทุนในหลักทรัพย์ แต่จะได้กำไรจากการลงทุนใน SET 50 Index Futures มาทดแทน สมการเชิงเส้น
ซึ่งในกรณีนี้ค่าของ "t" จะแปรผันตั้งแต่ 0 ที่จุด ("h", "k") ไปยัง 1 ที่จุด ("p", "q") ค่าของ "t" ที่อยู่ระหว่าง 0 กับ 1 ทำให้เกิดการประมาณค่าในช่วง (interpolation) ส่วนค่าอื่นของ "t" จะทำให้เกิดการประมาณค่านอกช่วง (extrapolation) สมการเชิงอนุพันธ์แบร์นูลลี
เรียกว่า สมการแบร์นูลลี () เมื่อ formula_2 ,formula_3 ซึ่งสมการนี้ตั้งชื่อตาม ยาคอบ แบร์นูลลี (Jakob Bernoulli) ผู้ซึ่งนำเสนอสมการรูปแบบนี้ไว้ในปี ค.ศ. 1695 สมการแบร์นูลลี นั้นมีความน่าสนใจเพราะสมการเชิงอนุพันธ์ไม่เชิงเส้นที่ (nonlinear differential equations) มีผลตอบแม่นตรง (exact solution) สารประกอบโคออร์ดิเนชัน
สารประกอบโคออร์ดิเนชัน () หรือสารเชิงซ้อนโคออร์ดิเนชัน (coordination complexes) หมายถึง สารประกอบที่ประกอบด้วย โคออร์ดิเนชันเอนทิตี (coordination entity) หรือ โคออร์ดิเนชันสเฟียร์ (coordination sphere) ซึ่ง โคออร์ดิเนชันเอนทิตี คือ ไอออนหรือโมเลกุลที่ประกอบด้วย อะตอมกลาง (central atom)(โดยปกติแล้วจะเป็นอะตอมของธาตุโลหะ) สร้างพันธะเชื่อมต่อกับอะตอมหรือกลุ่มของอะตอมรอบๆ แต่ละอะตอมหรือกลุ่มอะตอมดังกล่าวที่สร้างพันธะกับอะตอมกลางเรียกว่า ลิแกนด์ (ligand)  จำนวนเชิงซ้อน
จำนวนเชิงซ้อน (อังกฤษ : complex number) ในทางคณิตศาสตร์ คือ เซตที่ต่อเติมจากเซตของจำนวนจริงโดยเพิ่มจำนวน formula_1 ซึ่งทำให้สมการ formula_2 เป็นจริง และหลังจากนั้นเพิ่มสมาชิกตัวอื่น ๆ เข้าไปจนกระทั่งเซตที่ได้ใหม่มีสมบัติการปิดภายใต้การบวกและการคูณ จำนวนเชิงซ้อน formula_3 ทุกตัวสามารถเขียนอยู่ในรูป formula_4 โดยที่ formula_5 และ formula_6 เป็นจำนวนจริง โดยเราเรียก formula_5 และ formula_6 ว่าส่วนจริง (real part) และส่วนจินตภาพ (imaginary part) ของ formula_3 ตามลำดับ หน่วยอนุพัทธ์เอสไอ
หน่วยอนุพันธ์เอสไอ () คือหน่วยที่เกิดจากการรวมกันของหน่วยฐานเอสไอโดยการคูณหรือหาร เพื่อใช้ในเรื่องการวัดและการแสดงปริมาณต่างๆ ซึ่งหน่วยอนุพันธ์สามารถมีได้มากมายไม่จำกัด เนื่องจากปริมาณต่างๆในโลกนี้ที่คนเราอยากรู้ก็ไม่สามารถจำกัดได้ เพียงแต่เลือกหน่วยพื้นฐานมาประกอบเข้าด้วยกันให้ถูกต้อง สมการเชบีเชฟ
สมการเชบีเชฟ () คือสมการอนุพันธ์กำลังสองสามัญเชิงเส้น (second order linear Ordinary differential equation) ซึ่งมีรูปแบบดังนี้ อนุพันธ์
ในบางครั้งเราก็กล่าวถึง "สัญกรณ์ไพรม์" หนึ่งในสัญกรณ์ยุคใหม่ที่ใช้กันมากที่สุดสำหรับการหาอนุพันธ์ ซึ่งมาจากโฌแซ็ฟ-หลุยส์ ลากร็องฌ์ โดยใช้เครื่องหมายไพรม์ กล่าวคือ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน "f"("x") เขียนได้ในรูป "f"′("x") หรือ "f"′ ในทำนองเดียวกันอนุพันธ์อันดับสองและสามก็เขียนได้ในรูปดังนี้
เพื่อที่จะเขียนอนุพันธ์อันดับที่สูงกว่านี้ ผู้เขียนบางคนก็จะใช้เลขโรมันเป็นตัวยก หรือบางคนอาจใช้จำนวนนับในวงเล็บ:
สัญกรณ์ด้านหลัง ถ้าอยู่ในรูปทั่วไปก็คือ "f" สำหรับอนุพันธ์อันดับ "n" ของ "f" สัญกรณ์นี้มีประโยชน์มากที่สุดเมื่อเราต้องการจะกล่าวถึงอนุพันธ์ในอยู่ในรูปฟังก์ชันของมันเอง ดังเช่นในกรณีนี้ สัญกรณ์ไลบ์นิซอาจกลายเป็นเรื่องยุ่งยาก สมการกำลังสอง
สมการกำลังสองใดๆ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง (หรือจำนวนเชิงซ้อน) จะมีรากของสมการ 2 คำตอบเสมอ ซึ่งอาจจะเท่ากันก็ได้ โดยที่รากของสมการสามารถเป็นได้ทั้งจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน สามารถคำนวณได้จากสูตร
ซึ่งเครื่องหมายบวกและลบเป็นการแทนความหมายของทั้งสองคำตอบ ได้แก่
ดังนั้นค่าของสมการจะเท่ากับฟิวชั่นของสมการ สมการเชิงเส้น
สมการเชิงเส้นสามารถมีตัวแปรได้มากกว่า 2 ตัว สมการเชิงเส้นทั่วไปที่มีจำนวนตัวแปร "n" ตัวสามารถเขียนได้ในรูปแบบ
ซึ่ง formula_22 เป็นสัมประสิทธิ์ formula_23 คือตัวแปร และ "b" คือค่าคงตัว เมื่อเราต้องการเขียนสมการตัวแปรน้อยๆ เช่น 3 ตัว เราอาจแทนที่ formula_24 ด้วยชื่อตัวแปรอื่นๆ เช่น formula_25 ได้ตามต้องการ แคลคูลัส
ทั้งสองแนวคิดที่กำเนิดจากปัญหาที่ต่างกันกลับมีความสัมพันธ์กันลึกซึ้ง โดยทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสกล่าวว่า แท้จริงแล้วทฤษฎีทั้งสองเปรียบเสมือนเป็นด้านทั้งสองของเหรียญอันเดียวกัน นั่นคือเป็นสิ่งเดียวกันเพียงแต่มองคนละมุมเท่านั้น (โดยคร่าว ๆ เรากล่าวได้ว่าอนุพันธ์และปริพันธ์เป็นฟังก์ชันผกผันของกันและกัน). ในการสอนแคลคูลัสเพื่อความเข้าใจตัวทฤษฎีอย่างลึกซึ้ง ควรกล่าวถึงทั้งสองทฤษฎีและความสัมพันธ์นี้ก่อน แต่การศึกษาในปัจจุบันมักจะกล่าวถึงแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ก่อนเพียงอย่างเดียว เนื่องจากนำไปใช้งานได้ง่ายกว่า ตราสารอนุพันธ์
รูปแบบที่หนึ่ง การซื้อขายผ่านระบบตลาดทางการ (Organized Exchange) การซื้อขายตราสารอนุพันธ์ในระบบตลาดทางการจะมีกรรมวิธีการซื้อขายคล้ายกับการซื้อหุ้นในตลาดหลักทรัพย์คือ ตลาดทางการซึ่งเป็นตลาดที่มีการซื้อและขายหลักทรัพย์หรือตราสารอนุพันธ์อย่างเปิดเผย มีการกำหนดราคา และช่วงของการขึ้นลงราคาอย่างชัดเจน ข้อมูลข่าวสารของผู้ลงทุนจะได้รับอย่างทั่วถึงและเท่าเทียมกัน มีการเปิดเผยราคาหลักทรัพย์และราคาอนุพันธ์ให้ประชาชนผู้ลงทุนทราบ เช่น การถ่ายทอดสดราคาของหลักทรัพย์หรือตราสารอนุพันธ์ทางสถานีโทรทัศน์ หรือบนอินเทอร์เน็ต หรือแม้กระทั่งการตีพิมพ์ราคาของหลักทรัพย์หรือตราสารอนุพันธ์ในหนังสือพิมพ์ เป็นต้น และการลงทุนในตราสารอนุพันธ์ผ่านระบบของตลาดอนุพันธ์ทางการ ผู้ลงทุนทั้งฝ่ายซื้อและฝ่ายขายจะต้องถูกเรียกเงินประกัน การหาปริพันธ์ทีละส่วน
ปริพันธ์ทางซ้ายของสมการ ∫"uv"′ "dx" ประกอบด้วย "v"′ (อนุพันธ์ของ "v") เพื่อที่จะใช้ทฤษฎีบทนี้ได้นั้น ต้องหาค่า "v" (ปฏิยานุพันธ์ของ "v"′) ก่อน แล้วจึงหาปริพันธ์ทางขวา ∫"vu"′ "dx" อนุกรม
และโดยทั่วไป อนุกรมเรขาคณิต สมการเชิงเส้น
สมการเชิงเส้น คือสมการที่แต่ละพจน์มีเพียงค่าคงตัว หรือเป็นผลคูณระหว่างค่าคงตัวกับตัวแปรยกกำลังหนึ่ง ซึ่งจะมีดีกรีของพหุนามเท่ากับ 0 หรือ 1 สมการเหล่านี้เรียกว่า "เชิงเส้น" เนื่องจากสามารถวาดกราฟของฟังก์ชันบนระบบพิกัดคาร์ทีเซียนได้เป็นเส้นตรง รูปแบบทั่วไปของสมการเชิงเส้นในตัวแปร "x" และ "y" คือ
โดยที่ "m" คือค่าคงตัวที่แสดงความชันหรือเกรเดียนต์ของเส้นตรง และพจน์ "b" แสดงจุดที่เส้นตรงนี้ตัดแกน "y" สำหรับสมการที่มีพจน์ "x", "y", "xy" ฯลฯ ที่มีดีกรีมากกว่าหนึ่งไม่เรียกว่าเป็นสมการเชิงเส้น สมการนาเวียร์-สโตกส์
ชุดสมการนาเวียร์-สโตกส์เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ซึ่งต่างจากสมการพีชคณิต ไม่มีการระบุความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรที่แน่นอนหรือชัดเจน หากแต่ระบุอัตราการเปลี่ยนแปลงแทน ตัวอย่างเช่น ในสมการนาเวียร์-สโตกส์สำหรับของไหลในอุดมคติ ซึ่งไม่มีความหนืดและอัดตัวไม่ได้ สามารถระบุความสัมพันธ์ของความเร่งนั้นเป็นอัตราส่วนต่อ (Pressure gradient) อนุพันธ์ (แก้ความกำกวม)
อนุพันธ์ อาจหมายถึง อนุพันธ์
สัญกรณ์ของออยเลอร์จะใช้ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ "D" ซึ่งจะใช้กับฟังก์ชัน "f" เพื่อที่จะได้อนุพันธ์อันดับหนึ่ง "Df" ส่วนอนุพันธ์อันดับสองเขียนได้ในรูป "D""f" และอนุพันธ์อันดับ "n" เขียนได้ในรูป "D""f" สมการเชิงอนุพันธ์แบร์นูลลี
พิจารณาสมการแบร์นูลลี 
โดยชัดเจน formula_13 เป็นหนึ่งในผลลัพธ์
เมื่อหารด้วย formula_14 จะได้
เมื่อเปลี่ยนตัวแปรได้รูปแบบสมการใหม่ 
ซึ่งสามารถหาแก้สมการได้โดยใช้ตัวประกอบปริพันธ์ 
คูณด้วย formula_20,
โดยที่ ด้านซ้ายคืออนุพันธ์ของ formula_22 ดำเนินการหาปริพันธ์ทั้งสองข้างของสมการจะได้สมการ
ผลลัพธ์ formula_10 คือ
และ formula_13. อนุภาคมูลฐาน
อนุภาคมูลฐานที่รู้จักแล้ว ได้แก่ เฟอร์มิออนพื้นฐาน (ควาร์ก, เลปตอน, ปฏิควาร์ก และปฏิเลปตอน) ซึ่งอนุภาคเหล่านี้โดยทั่วไปเป็น "อนุภาคสสาร" และ "อนุภาคปฏิสสาร" อีกชนิดหนึ่งได้แก่ โบซอนพื้นฐาน (เกจโบซอน และอนุภาคฮิกส์) ซึ่งอนุภาคเหล่านี้โดยทั่วไปเป็น "อนุภาคแรง" ที่เป็นตัวเชื่อมปฏิสัมพันธ์พื้นฐานในหมู่เฟอร์มิออนด้วยกัน อนุภาคที่ประกอบด้วยอนุภาคมูลฐานตั้งแต่สองอนุภาคขึ้นไปจะเป็น "อนุภาคผสม" ()  ระเบียบวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์
ในการแก้นั้น ปัญหาพื้นฐานคือการสร้างสมการที่สามารถประมาณค่าสมการที่กำลังสนใจศึกษาแต่มี ซึ่งหมายความว่าในข้อมูลนำเข้า (input) และการคำนวณระหว่างกลางจะไม่ถูกรวมเข้าไป และและส่งผลให้ข้อมูลส่งออก (output)ไร้ความหมาย ซึ่งวิธีการนั้นมีหลายวิธีซึ่งแต่ละวิธีก็มีข้อดีข้อเสียที่แตกต่างกันออกไป ระเบียบวิธีไฟไนต์เอเลเมนต์เป็นทางเลือกที่ดีในการแก้ปัญหาสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยในขอบเขตที่ซับซ้อน (complex domains) (เช่นในรถยนต์หรือท่อส่งน้ำมัน) เมื่อขอบเขตมีการเปลี่ยนแปลง (เช่นในช่วงปฏิกิริยาโซลิดสเตทที่ขอบเขตมีการเคลื่อนที่ (solid state reaction with a moving boundary)) หรือเมื่อผลแม่นตรงที่ต้องการมีการเปลี่ยนแปลงตลอดขอบเขต หรือเมื่อผลลัพธ์ไม่มีความราบเรียบ สมการกำลังสาม
ในทางคณิตศาสตร์ สมการกำลังสาม คือสมการของพหุนามตัวแปรเดียวที่มีดีกรีเท่ากับ 3 รูปแบบทั่วไปของสมการกำลังสามคือ
เมื่อ "a" ≠ 0 (ถ้า "a" = 0 สมการนี้จะกลายเป็นสมการกำลังสอง) โดยปกติแล้ว formula_2 คือสัมประสิทธิ์ที่เป็นจำนวนจริง ฟังก์ชันของสมการกำลังสามสามารถวาดกราฟบนระบบพิกัดคาร์ทีเซียนได้รูปเส้นโค้งคล้ายตัว S หรือ N คำอนุภาค
ภาษาไทยมีคำอนุภาคจำนวนหนึ่ง ซึ่งหลักภาษาดั้งเดิมถูกกำหนดให้เป็นคำวิเศษณ์ เช่น นะ จ๊ะ เถอะ เถิด หรอก ซิ สิ น่ะ แน่ะ หนอ ละ ล่ะ กระมัง ครับ ค่ะ คะ ไหม หรือ เหรอ ฯลฯ เพื่อเน้นเจตนาของผู้พูดว่าต้องการเนื้อความบอกเล่า สั่ง ถาม ขู่ อ้อนวอน ขอร้อง แนะนำ เชิญชวน บังคับ เป็นต้น สามารถแบ่งเป็นสองกลุ่มได้แก่ คำอนุภาคที่เติมท้ายประโยค เพื่อแสดงเจตนาของผู้พูด และคำอนุภาคที่ไม่เติมท้ายประโยค คืออาจอยู่ต้นประโยคหรือระหว่างประโยคก็ได้ เพื่อเน้นความให้เด่นชัด อนุพันธ์
มีสัญกรณ์สำหรับอนุพันธ์สองแบบที่ใช้กันโดยทั่วไป แบบหนึ่งมาจากไลบ์นิซ และอีกแบบหนึ่งมาจากลากรางจ์ อนุพันธ์
จุดที่อนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันเปลี่ยนเครื่องหมาย (จากจำนวนจริงลบเป็นจำนวนจริงบวก หรือในทางกลับกัน) เรียกว่า "จุดเปลี่ยนเว้า" ที่จุดเปลี่ยนเว้า อนุพันธ์อันดับสองอาจเป็นศูนย์ ดังในกรณีที่จุดเปลี่ยนเว้าที่ ของฟังก์ชัน หรืออนุพันธ์อันดับสองอาจหาค่าไม่ได้ ดังในกรณีที่จุดเปลี่ยนเว้าที่ ของฟังก์ชัน ฟังก์ชันจะเปลี่ยนจากฟังก์ชันเว้าไปเป็นฟังก์ชันนูนหรือในทางกลับกันที่จุดเปลี่ยนเว้า เกรเดียนต์
ในแคลคูลัสเวกเตอร์ เกรเดียนต์ของสนามสเกลาร์คือสนามเวกเตอร์ที่ชี้ไปในทิศทางของอัตราการเพิ่มขึ้นที่ใหญ่ที่สุดของสนามสเกลาร์และมีขนาดที่เป็นอัตราของการเพิ่มขึ้น ตัวอย่างง่าย ๆ เช่น การเปลี่ยนแปลงในปริภูมิของปริมาณใด ๆ สามารถแสดง (เช่น แบบภาพกราฟิก) ได้โดยใช้ความชัน (slope) ในวิชาคณิตศาสตร์, เกรเดียนต์เป็นลักษณะทั่วไปของแนวคิดตามปกติของอนุพันธ์กับฟังก์ชันของหลายตัวแปร (functions of several variables) ถ้า เป็นฟังก์ชันอนุพันธ์ของหลายตัวแปรที่เรียกว่า "สนามสเกลาร์" เกรเดียนต์ของมันคือเวกเตอร์ของอนุพันธ์ย่อย n ของ f ดังนั้นจึงเรียกค่าฟังก์ชันเวกเตอร์ (vector-valued function) ที่ได้ว่าเป็น สนามเวกเตอร์ (vector field) จำนวนเชิงซ้อน
เซตของจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวมักถูกแทนด้วยสัญลักษณ์ formula_10 จากนิยามข้างต้นเราได้ว่าเซตของจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตของจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้นจำนวนจริงทุกตัวเป็นจำนวนเชิงซ้อน เราสามารถบวก ลบ คูณ และหารสมาชิกสองตัวใด ๆ ของเซตของจำนวนเชิงซ้อนได้ (เว้นแต่ในกรณีที่ตัวหารคือศูนย์) และผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นจำนวนเชิงซ้อนเสมอ ดังนั้นในทางคณิตศาสตร์เราจึงกล่าวว่าเซตของจำนวนเชิงซ้อนเป็นฟีลด์ นอกจากนี้เซตของจำนวนเชิงซ้อนยังมีสมบัติการปิดทางพีชคณิต (algebraically closed) กล่าวคือ พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเชิงซ้อนจะมีราก (พหุนาม)เป็นจำนวนเชิงซ้อนด้วย สมบัตินี้เป็นที่รู้จักในชื่อทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต สมการเชิงเส้น
สมการดังกล่าวจะเป็นการนำเสนอระนาบเกิน "n"–1 มิติ (hyperplane) ในปริภูมิแบบยุคลิด "n" มิติ เช่นระนาบสองมิติในปริภูมิสามมิติ เป็นต้น ทฤษฎีสัมพัทธภาพ
ทฤษฎีนี้กล่าวถึงสมการหนึ่งที่มาแทนที่กฎแรงโน้มถ่วงของนิวตัน ใช้เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์และเทนเซอร์ในการอธิบายความโน้มถ่วง แสดงให้เห็นว่าผู้สังเกตทุกคนเหมือนกันไม่ว่าจะเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วคงที่หรือไม่ กฎของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปเหมือนกันสำหรับผู้สังเกตทุกคน แม้ว่าผู้สังเกตแต่ละคนเคลื่อนที่ด้วยความเร่งเมื่อเทียบกับผู้สังเกตคนอื่น ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป ความโน้มถ่วงไม่ได้เป็นแรง (อย่างในกฎความโน้มถ่วงของนิวตัน) อีกต่อไป แต่เป็นผลจากการโค้งของปริภูมิ-เวลา (spacetime หรืออาจแปลว่าปริภูมิก็ได้) ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปเป็นทฤษฎีเชิงเรขาคณิตที่ถือหลักว่ามวลและพลังงานทำให้เกิดการโค้งงอของปริภูมิ-เวลา และการโค้งนี้ส่งผลต่อเส้นทางการเคลื่อนที่ของอนุภาคอิสระรวมทั้งแสง อนุกรม
∑ n = 0 ∞ | a n | {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|} พาหะแรง
เมื่ออนุภาคหนึ่งกระจายตัวออกจากอีกอนุภาคหนึ่ง มีการเปลี่ยนแปลงในวิถีของมัน มีสองวิธีที่จะคิดเกี่ยวกับกระบวนการนี้ ในภาพของสนาม เราจินตนาการว่าสนามที่ถูกสร้างขึ้นโดยอนุภาคหนึ่งได้ทำให้เกิดจากแรงอย่างหนึ่งขึ้นบนอีกอนุภาคหนึ่ง อีกแนวคิดหนึ่ง เราสามารถจินตนาการได้ว่าอนุภาคหนึ่งมีการปลดปล่อยอนุภาคเสมือนออกมาตัวหนึ่งซึ่งจะถูกดูดซึมโดยอีกตัวหนึ่ง อนุภาคเสมือนจะทำการถ่ายโอนโมเมนตัมจากอนุภาคหนึ่งไปยังอีกอนุภาคหนึ่ง มุมมองของอนุภาคแบบนี้จะเป็นประโยชน์เป็นพิเศษเมื่อมีจำนวนมากของการแก้ไขควอนตัมที่ซับซ้อนต่อการคำนวณเนื่องจากการแก้ไขเหล่านี้สามารถสร้างออกมาเป็นภาพในแผนภาพ Feynman ที่ประกอบด้วยอนุภาคเสมือนเพิ่มเติม การแปลงเชิงปริพันธ์
ฟังก์ชันฐานที่ตั้งฉาก (orthogonal) นั้นหมายถึง ปริพันธ์ของผลคูณของสองฟังก์ชันฐานที่ต่างกัน ตลอดทั้งช่วงโดเมนของมันจะต้องมีค่าเป็นศูนย์ การแปลงเชิงปริพันธ์นั้นเพียงเป็นการเปลี่ยนรูปฟังก์ชันจากที่แสดงโดยฐานเชิงตั้งฉากปรกติหนึ่ง เป็นอีกฐานเชิงตั้งฉากปรกติหนึ่งเท่านั้น ค่าที่แต่ละจุดของฟังก์ชันในโดเมนของการแปลงคือ ค่าขนาดของฟังก์ชันฐานเชิงตั้งฉากปรกติหนึ่ง ๆ ที่เป็นองค์ประกอบของการกระจายฟังก์ชันจากการแปลง กระบวนการกระจายฟังก์ชันจาก"รูปแบบมาตรฐาน" เป็นผลบวกของฟังก์ชันฐานเชิงตั้งฉากปรกติ ซึ่งอาจถูกปรับขนาด และ ตำแหน่ง เรียกว่า "การแยกองค์ประกอบสเปกตรัม" (spectral factorization) กระบวนการนี้คล้ายกับหลักการของการแทนจุดใด ๆ ในปริภูมิ 3 มิติ ด้วยค่าตามแกน "x", "y", "z" ซึ่งค่าแต่ละแกนจะตั้งฉากกัน และเป็นอิสระไม่ขึ้นแก่กัน ในการหาขนาดองค์ประกอบในการแยกองค์ประกอบสเปกตรัมของฟังก์ชัน "F" ตามฟังก์ชันฐานเชิงตั้งฉากปรกติหนึ่ง ๆ นั้นจะใช้คำว่า "โพรเจกชัน" (projection) ของ "F" ไปบนฟังก์ชันฐานนั้น เช่นเดียวกับในกรณีของเวกเตอร์ อนุกรม
S N = ∑ n = 0 N a n = a 0 + a 1 + a 2 + ⋯ + a N {\displaystyle S_{N}=\sum _{n=0}^{N}a_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{N}} แคลคูลัสกับพหุนาม
ถ้ามีพนุนามที่ตัวคูณไม่ใช่จำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน (เช่นอาจเป็น จำนวนเต็ม หรือตัวเลขมอดุโลของจำนวนเฉพาะ) ก็สามารถนิยามอนุพันธ์จากความสัมพันธ์ข้างบน คลื่น
สมการคลื่นเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย ใช้จำลองพฤติกรรมของคลื่นฮาร์มอนิกเคลื่อนที่ในตัวกลาง สมการคลื่นมีหลายรูปแบบขึ้นกับลักษณะการส่งผ่านของคลื่น และ คุณสมบัติของตัวกลาง ตัวคลื่นก็มีรูปร่างหลากหลาย ไม่จำเป็นจะต้องเป็นคลื่นรูปไซน์เสมอไป อนุพันธ์
ในวิชาคณิตศาสตร์ อนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรจริงเป็นการวัดการเปลี่ยนแปลงของค่าของฟังก์ชันเทียบกับการเปลี่ยนแปลงของอาร์กิวเมนต์ (ค่าที่ป้อนเข้าหรือตัวแปรต้น) อนุพันธ์เป็นเครื่องมือพื้นฐานของแคลคูลัส ตัวอย่างเช่น อนุพันธ์ของตำแหน่งของวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่เทียบกับเวลา คือ ความเร็วของวัตถุนั้น ซึ่งเป็นการวัดว่าตำแหน่งของวัตถุมีการเปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็วเพียงใดเมื่อเวลาผ่านไป การหาปริพันธ์ทีละส่วน
หรือในรูปที่กระทัดรัดกว่า สมการเชิงเส้น
เมื่อ "A" กับ "B" ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน สมการในรูปแบบนี้มักเขียนให้ "A" ≥ 0 เพื่อความสะดวกในการคำนวณ กราฟของสมการจะเป็นเส้นตรง และทุกๆ เส้นตรงสามารถนำเสนอให้อยู่ในรูปแบบข้างต้นนี้ได้ เมื่อ "A" ไม่เท่ากับ 0 ระยะตัดแกน "x" จะอยู่ที่ระยะ −"C"/"A" และเมื่อ "B" ไม่เท่ากับ 0 ระยะตัดแกน "y" จะอยู่ที่ระยะ −"C"/"B" ส่วนความชันของเส้นตรงนี้มีค่าเท่ากับ −"A"/"B" การแยกตัวประกอบ
การแยกตัวประกอบ () ในทางคณิตศาสตร์ หมายถึงการแบ่งย่อยวัตถุทางคณิตศาสตร์ (เช่น จำนวน พหุนาม หรือเมทริกซ์) ให้อยู่ในรูปผลคูณของวัตถุอื่น ซึ่งเมื่อคูณตัวประกอบเหล่านั้นเข้าด้วยกันจะได้ผลลัพธ์ดังเดิม ตัวอย่างเช่น จำนวน 15 สามารถแยกตัวประกอบให้เป็นจำนวนเฉพาะได้เป็น 3 × 5 และพหุนาม formula_1 สามารถแยกได้เป็น formula_2 เป็นต้นจำนวนเชิงซ้อน (อังกฤษ : complex number) ในทางคณิตศาสตร์ คือ เซตที่ต่อเติมจากเซตของจำนวนจริงโดยเพิ่มจำนวน formula_3 ซึ่งทำให้สมการ formula_4 เป็นจริง และหลังจากนั้นเพิ่มสมาชิกตัวอื่น ๆ เข้าไปจนกระทั่งเซตที่ได้ใหม่มีสมบัติการปิดภายใต้การบวกและการคูณ จำนวนเชิงซ้อน formula_5 ทุกตัวสามารถเขียนอยู่ในรูป formula_6 โดยที่ formula_7 และ formula_8 เป็นจำนวนจริง โดยเราเรียก formula_7 และ formula_8 ว่าส่วนจริง (real part) และส่วนจินตภาพ (imaginary part) ของ formula_5 ตามลำดับ ปริพันธ์
กำหนดฟังก์ชัน f(x) และช่วง [a, b] หาปฏิยานุพันธ์ของ f ก็คือ หาฟังก์ชัน F ที่ F' เท่ากับ f จากทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส จะได้ว่า ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)} ค่าของปริพันธ์คือ F(b) − F(a) พาหะแรง
ในฟิสิกส์ของอนุภาค พาหะแรง () หรือพาหะของแรงคืออนุภาคที่สร้างแรงต่าง ๆ ระหว่างอนุภาคใด ๆ อนุภาคเหล่านี้เป็นกลุ่มก้อนของพลังงาน (ควอนตัม) ของชนิดที่เฉพาะของสนามฟิสิกส์ ทุก ๆ สายพันธ์ของอนุภาคมูลฐานมีสนามเฉพาะตัวหนึ่งชนิด ยกตัวอย่างเช่น มีหนึ่งสนามอิเล็กตรอนที่มีควอนตัมเป็นกลุ่มอิเล็กตรอน และหนึ่งสนามแม่เหล็กไฟฟ้าที่มีควอนตัมเป็นกลุ่มโฟตอน อนุภาคที่เป็นพาหะของแรงจะเป็นคนกลางเพื่อไกล่เกลี่ยระหว่างแรงพื้นฐานทั้งหลาย ซึ่งได้แก่ แรงแม่เหล็กไฟฟ้า, อันตรกิริยาอย่างเข้ม และ อันตรกิริยาอย่างอ่อน อนุภาคนั้นถูกเรียกว่า เกจโบซอน อนุกรม
เป็นอนุกรมลู่เข้า (และมีผลรวมเท่ากับ ln 2) แต่อนุกรมของค่าสัมบูรณ์กลายเป็นอนุกรมฮาร์มอนิกซึ่งลู่ออก ทฤษฎีบทอนุกรมของรีมันน์กล่าวไว้ว่า อนุกรมลู่เข้าตามเงื่อนไข สามารถจัดเรียงให้กลายเป็นอนุกรมลู่ออก และยิ่งไปกว่านั้น ถ้า a n {\displaystyle a_{n}} เป็นจำนวนจริง และ S ก็เป็นจำนวนจริง เราสามารถจัดเรียงใหม่เพื่อให้อนุกรมนั้นลู่เข้าและมีผลรวมเท่ากับ S สมการกำลังสอง
ในทางคณิตศาสตร์ สมการกำลังสอง (สมการควอดราติก) คือสมการของพหุนามตัวแปรเดียวที่มีดีกรีเท่ากับ 2 รูปแบบทั่วไปของสมการกำลังสองคือ
เมื่อ "a" ≠ 0 (ถ้า "a" = 0 สมการนี้จะกลายเป็นสมการเชิงเส้น) ซึ่ง "a", "b" อาจเรียกว่าเป็นสัมประสิทธิ์ของ "x", "x" ตามลำดับ ส่วน "c" คือสัมประสิทธิ์คงตัว บางครั้งเรียกว่าพจน์อิสระหรือพจน์คงตัว ฟังก์ชันของสมการกำลังสองสามารถวาดกราฟบนระบบพิกัดคาร์ทีเซียนได้รูปเส้นโค้งพาราโบลา อนุกรม
เราเรียก S N {\displaystyle S_{N}} ว่าเป็น ผลรวมบางส่วน N พจน์ ของลำดับ { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} หรือ ผลรวมบางส่วนของอนุกรม อนุกรมคือลำดับของผลรวมบางส่วนเข้าด้วยกัน { S N } {\displaystyle \{S_{N}\}} ตราสารอนุพันธ์
การซื้อขายตราสารอนุพันธ์ในตลาดแบบมีระเบียบจะแตกต่างจากตลาดต่อรอง ในรูปแบบของสัญญาที่เป็นมาตรฐาน คือ สัญญาที่จะสามารถนำไปซื้อขายกันในตลาดแบบมีระเบียบได้ จะต้องเป็นสัญญาที่มีมาตรฐานเดียวกัน เช่น ขนาดของสัญญาต้องมีขนาดเท่ากัน วิธีการส่งมอบต้องเหมือนกัน คุณภาพของสินค้าหรือสินทรัพย์ที่กำหนดในสัญญาต้องมีคุณภาพเดียวกัน ทำให้ผู้ซื้อและผู้ขายมีความเข้าใจกันว่าตนเองนั้นกำลังซื้อหรือขายสัญญาประเภทใด การทำให้สัญญาเป็นมาตรฐานเดียวกันนี้ จะทำให้สัญญาที่ซื้อขายในตลาดแบบมีระเบียบสามารถซื้อขายได้สะดวกมากขึ้น เพราะจำนวนผู้ซื้อและผู้ขายจะมีมาก หากสัญญามีความแตกต่างกันมาก การซื้อและการขายจะไม่คล่องตัว เนื่องจากผู้ลงทุนอาจต้องการซื้อหรือขายสินทรัพย์ในจำนวนที่ไม่เท่ากัน อนุกรม
อนุกรมนี้อาจ มองว่า เป็นอนุกรมลู่เข้าบนเส้นจำนวนจริง เราอาจจินตนาการถึงเส้นตรงยาว 2 หน่วย และมีขีดกำกับแบ่งครึ่งไว้ที่ความยาว 1 หน่วย, ½ หน่วย, ¼ หน่วย ฯลฯ ซึ่งเราจะมีที่ว่างเสมอสำหรับขีดกำกับครั้งถัดไป เพราะว่าความยาวของเส้นที่เหลือจะยังคงมีอยู่เหมือนกับขีดกำกับก่อนหน้า เช่น เมื่อกำกับขีดไว้ที่ ½ หน่วย ก็ยังคงเหลือที่ว่างอีก ½ หน่วยที่ยังไม่มีขีด ดังนั้นเราจึงสามารถขีดกำกับที่ ¼ หน่วยลงไปได้อีก เช่นนี้เรื่อยไป คำอธิบายข้างต้นมิได้เป็นข้อพิสูจน์ว่าผลรวมดังกล่าว เท่ากับ 2 (ถึงแม้ว่าจะเป็นเช่นนั้น) แต่เป็นการพิสูจน์ว่าผลรวมนั้นมีค่า มากที่สุด คือ 2 หรือกล่าวอีกทางหนึ่งคือ อนุกรมนี้มีขอบเขตบนที่ 2 สมการเชิงอนุพันธ์แบร์นูลลี
หารตลอดทั้งสมการ ฟิสิกส์ของอนุภาค
การวิจัยด้านฟิสิกส์ของอนุภาคที่ทันสมัยจะมุ่งเน้นไปที่อนุภาคของอะตอมย่อย () รวมทั้งองค์ประกอบที่สร้างขึ้นเป็นอะตอมเช่นอิเล็กตรอน โปรตอน และนิวตรอน (โปรตอนและนิวตรอนเป็นอนุภาคผสมที่เรียกว่าแบริออน ทำจากหลายควาร์ก) ที่ผลิตโดยกระบวนการกัมมันตรังสีและการกระจัดกระจาย เช่นโฟตอน นิวตริโน และมิวออน เช่นเดียวกับอีกหลากหลายของอนุภาคที่แปลกใหม่ ไดนามิกส์ของอนุภาคทั้งหลายยังถูกควบคุมโดยกลศาสตร์ควอนตัมอีกด้วย; โดยพวกมันจะแสดงออกเป็นสองภาคของคลื่นและของอนุภาค () นั่นคือมันจะแสดงพฤติกรรมเหมือนกับเป็นอนุภาคภายใต้สภาวะการทดลองบางอย่างและพฤติกรรมเหมือนกับเป็นคลื่นในสภาวะอื่น ๆ ในความหมายทางเทคนิคมากขึ้น พวกมันจะถูกอธิบายโดยเวกเตอร์ของสภาวะควอนตัมใน Hilbert space, ซึ่งถูกปฏิบัติในทฤษฎีสนามควอนตัมเช่นกัน หลังจากการประชุมของนักฟิสิกส์ด้านอนุภาค คำว่าอนุภาคมูลฐานถูกนำไปใช้กับอนุภาคเหล่านั้นที่ถูก(ตามที่เข้าใจในปัจจุบัน)สันนิษฐานว่าเป็นพวกที่แบ่งแยกไม่ได้และไม่ประกอบด้วยอนุภาคอื่น ๆ บ่อศักย์แบบลึกจำกัด
คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ (4) คือ  formula_16 อนุกรม
ในทางคณิตศาสตร์ อนุกรม คือผลจากการบวกสมาชิกทุกตัวของลำดับไม่จำกัดเข้าด้วยกัน หากกำหนดให้ลำดับของจำนวนเป็น { a n } = a 1 , a 2 , a 3 , . . . {\displaystyle \{a_{n}\}=a_{1},a_{2},a_{3},...} อนุกรมของลำดับนี้ก็คือ a 1 + a 2 + a 3 + . . . {\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+...} อนุกรมสามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ของผลรวม ∑ เช่นตัวอย่างนี้เป็นอนุกรมของลำดับ { 1 / 2 n } {\displaystyle \{1/2^{n}\}} กฎผลหาร
และ "h"("x") ≠ 0; ดังนั้น กฎนี้กล่าวว่า อนุพันธ์ของ "g"("x") / "h"("x") เท่ากับ ตัวส่วน คูณกับ อนุพันธ์ของ ตัวเศษ ลบกับ ตัวเศษ คูณกับอนุพันธ์ของ ตัวส่วน ทั้งหมดหารด้วยกำลังสองของตัวส่วน ดังนี้ แคลคูลัส
พื้นฐานที่เคร่งครัดของแคลคูลัส มีฐานมาจาก แนวคิดของฟังก์ชัน จำนวน สมการเชิงอนุพันธ์ สมการและอสมการ ลำดับและอนุกรม ทฤษฎีบททวินาม เวกเตอร์ พิกัดเชิงขั้ว เมทริกซ์ อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์(mathematical induction) และ ลิมิต การศึกษาพื้นฐานของแคลคูลัสสมัยใหม่ รู้จักกันในชื่อ การวิเคราะห์เชิงจริง 
ซึ่งประกอบด้วย นิยามที่เคร่งครัด และบทพิสูจน์ของทฤษฎีของแคลคูลัส  ปฏิยานุพันธ์
ในฟิสิกส์ การหาปริพันธ์ของความเร่งทำให้ได้ความเร็วบวกกับค่าคงตัว ค่าคงตัวนี้ก็คือพจน์ความเร็วตั้งต้น ซึ่งจะหายไปเมื่อเราหาอนุพันธ์ของความเร็ว เพราะว่าอนุพันธ์ของพจน์ที่คงตัวมีค่าเป็นศูนย์ โดยมันจะเป็นเช่นเดิมเมื่อหาปริพันธ์และอนุพันธ์ของการเคลื่อนที่ (ตำแหน่ง ความเร็ว ความเร่ง และอื่น ๆ) ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป
หลังคิดได้ผลของความโน้มถ่วงฉบับสัมพัทธนิยมและเรขาคณิตแล้ว แต่คำถามที่มาของความโน้มถ่วงยังอยู่ ในความโน้มถ่วงแบบนิวตัน ที่มานั้นคือมวล ในสัมพัทธภาพพิเศษ กลายเป็นว่ามวลเป็นส่วนหนึ่งของปริมาณทั่วไปกว่า เรียก เทนเซอร์พลังงาน–โมเมนตัม (energy–momentum tensor) ซึ่งมีทั้งความหนาแน่นของพลังงานและโมเมนตัม ตลอดจนความเครียด (คือ ความดันและความเฉือน) โดยใช้หลักการสมมูล เทนเซอร์นี้ถูกวางนัยทั่วไปพร้อมเป็นปริภูมิ-เวลาโค้งแล้ว โดยลากต่อบนอุปมากับความโน้มถ่วงแบบนิวตันเชิงเรขาคณิต จึงเป็นธรรมชาติที่จะสันนิษฐานว่าสมการฟีลด์สำหรับความโน้มถ่วงเชื่อมเทนเซอร์นี้กับเทนเซอร์ริตชี (Ricci tensor) ซึ่งอธิบายผลขึ้นลงชั้นเฉพาะหนึ่ง คือ การเปลี่ยนแปลงปริมาตรของอนุภาคทดสอบคลาวด์ (cloud) เล็กซึ่งทีแรกเป็นขณะพัก แล้วตกอิสระ ในสัมพัทธภาพพิเศษ การอนุรักษ์พลังงาน-โมเมนตัมสมนัยกับข้อความว่าเทนเซอร์พลังงาน-โมเมนตัมปลอดการลู่ออก เช่นเดียวกัน สูตรนี้ถูกวางนัยทั่วไปพร้อมเป็นปริภูมิ-เวลาโค้งโดยการแทนอนุพันธ์ย่อยด้วยอนุพันธ์แมนิโฟลด์ (manifold) โค้งแทน ซึ่งเป็นอนุพันธ์แปรปรวนร่วมเกี่ยวที่ศึกษาในเรขาคณิคเชิงอนุพันธ์ ด้วยเงื่อนไขที่เพิ่มขึ้นมานี้ การลู่ออกแปรปรวนร่วมเกี่ยวของเทนเซอร์พลังงาน-โมเมนตัม และอะไรก็ตามที่อยู่อีกข้างหนึ่งของสมการ เป็นศูนย์ เซตสมการง่ายที่สุดจึงเป็นสิ่งที่เรียก สมการสนามของไอน์สไตน์: กฎผลหาร
กฎผลหาร () เป็นกฎในแคลคูลัส คือวิธีการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ซึ่งเป็นผลหาร ของอีกสองฟังก์ชัน ซึ่งหาอนุพันธ์ได้ ถ้าฟังก์ชันที่เราต้องการหาอนุพันธ์ "f(x)" สามารถเขียนในรูป สมการเชิงเส้น
สมการนี้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานเมื่อ "A" = 1 และ "B" = 0 กราฟของสมการนี้จะเป็นเส้นตรงในแนวดิ่งโดยที่มีระยะตัดแกน "x" เท่ากับ "E" ส่วนความชันนั้นไม่นิยาม ถ้า "E" ≠ 0 กราฟนี้จะไม่มีระยะตัดแกน "y" แต่ถ้า "E" = 0 กราฟนี้จะมีระยะตัดแกน "y" เป็นจำนวนจริงทุกจำนวน การแปลงลาปลาส
ในทางคณิตศาสตร์ การแปลงลาปลาส () คือการแปลงเชิงปริพันธ์ที่ใช้กันอย่างกว้างขวาง แสดงอยู่ในรูป formula_1 การแปลงลาปลาสจะทำให้เกิดความเป็นเชิงเส้นของ "f"("t") ซึ่งค่า "t" เป็นอาร์กิวเมนต์จริง("t" ≥ 0) จะแปลงไปอยู่ในรูปฟังก์ชัน "F"("s") โดย "s" เป็นอาร์กิวเมนต์เชิงซ้อน การแปลงนี้เป็นการทำฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งที่สำคัญมากในการใช้งานในทางปฏิบัติ คู่ฟังก์ชัน "f"("t") กับ "F"("s") นั้นจับคู่กันในตาราง การแปลงลาปลาสถูกใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติที่มันมีความสัมพันธ์และการดำเนินการของฟังกันดังเดิม "f"("t") น้นสอดคล้องกับความสัมพันธ์กับการดำเนินการในรูปของ "F"("s") การแปลงลาปลาสถูกประยุกต์ใช้ในงานสำคัญมากมายที่เป็นแนวคิดทางวิทยาศาสตร์ สำหรับชื่อลาปลาสนี้มาจากชื่อของปีแยร์-ซีมง ลาปลาส ผู้ที่นำการแปลงนี้ไปใช้ในทฤษฎีความน่าจะเป็น พาหะแรง
ในฟิสิกส์ของอนุภาค ทฤษฎีสนามควอนตัม เช่นแบบจำลองมาตรฐาน จะถูกใช้อธิบายธรรมชาติในแง่ของสนามฟิสิกส์ แต่ละสนามจะมีคำอธิบายประกอบเป็นชุดของอนุภาคแต่ละชนิด แรงที่เกิดระหว่างสองอนุภาคสามารถจะอธิบายได้ว่าเป็นการกระทำของสนามแรงที่สร้างขึ้นโดยอนุภาคหนึ่งกระทำบนอีกอนุภาคหนึ่ง หรือเป็นการแลกเปลี่ยนของอนุภาคพาหะของแรงเสมือนของสองอนุภาคนั้นกระทำต่อกัน อย่างใดอย่างหนึ่ง ระบบพิกัดเชิงขั้ว
สมการที่นิยามเส้นโค้งพืชคณิตแสดงในพิกัดเชิงขั้วหรือที่เรียกว่าสมการเชิงขั้ว ในหลายกรณี สมการสามารถถูกกำหนดง่ายๆโดยนิยาม "r" ตามฟังก์ชันของ θ ("r" "f(θ)" หรือ "F(r, θ)" "0") เส้นโค้งที่ได้ประกอบด้วยจุดในรูปแบบ ("r"(θ), θ) และสามารถถือว่าเป็นเส้นกราฟของฟังกชันขั้ว "r" แคลคูลัส
แนวคิดแรกคือ แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ (Differential Calculus) เป็นทฤษฎีที่ว่าด้วยอัตราการเปลี่ยนแปลง และเกี่ยวข้องกับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น การหา ความเร็ว, ความเร่ง หรือความชันของเส้นโค้ง บนจุดที่กำหนดให้. ทฤษฎีของอนุพันธ์หลายส่วนได้แรงบันดาลใจจากปัญหาทางฟิสิกส์ พหุนามเลอจองดร์
ส่วนในทางคณิตศาสตร์แล้วนั้นฟังก์ชันเลอจองดร์จะเป็นผลเฉลยของสมการอนุพันธ์ของเลอจองดร์ : การแปลงเชิงปริพันธ์
การแปลงเชิงปริพันธ์ ใช้หลักการของการแยกองค์ประกอบสเปกตรัม () ตาม ฐานเชิงตั้งฉากปรกติ (หรือ หมายความง่าย ๆ ว่า เราสามารถเขียนฟังก์ชันที่ซับซ้อน ให้อยู่ในรูปผลบวกของฟังก์ชันที่ซับซ้อนน้อยกว่านั่นเอง สมการ
สมการ หมายถึงประโยคสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ ที่ใช้แสดงว่าสองสิ่งเหมือนกัน หรือเทียบเท่ากัน ที่เชื่อมด้วยเครื่องหมายเท่ากับ ดังตัวอย่างต่อไปนี้ สมการเชิงอนุพันธ์แบร์นูลลี
ในคณิตศาสตร์ สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ ในรูปแบบ ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
สมการข้างต้นเป็นจริงสำหรับค่า c ทุกจำนวน แต่ผลลัพธ์ของอนุพันธ์เมื่อ c < 0 จะเป็นจำนวนเชิงซ้อน อนุกรม
อนุกรมสามารถสร้างขึ้นได้จากเซตหลายประเภทรวมทั้งจำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อน ฟังก์ชัน ฯลฯ นิยามต่อไปนี้จะถูกกำหนดบนจำนวนจริง แต่ก็สามารถทำให้เป็นกรณีทั่วไปได้ ฟังก์ชันเครื่องหมาย
ฟังก์ชันเครื่องหมายคืออนุพันธ์ของฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ (ซึ่งประเมินค่าไม่ได้ที่ 0) แคลคูลัส
ความจริงข้อนี้ปรากฏแก่ทั้งนิวตัน และไลบ์นิซ ซึ่งเป็นกุญแจนำไปสู่ การขยายผลลัพธ์เชิงวิเคราะห์อย่างมากมายหลังจากงานของทั้งสองเป็นที่รู้จัก.
ความเชื่อมโยงนี้ ทำให้เราสามารถย้อนความเปลี่ยนแปลงทั้งหมดในฟังก์ชันในช่วงหนึ่ง จากอัตราการเปลี่ยนแปลงในขณะใดขณะหนึ่ง โดยการหาปริพันธ์ของส่วนหลัง.
ทฤษฎีบทมูลฐานนี้ยังให้วิธีในการคำนวณหา ปริพันธ์จำกัดเขต ด้วยวิธีทางพีชคณิตเป็นจำนวนมาก โดยไม่ต้องใช้วิธีการหาลิมิต ด้วยการหาปฏิยานุพันธ์.
ทฤษฎีบทนี้ยังอนุญาตให้เราแก้สมการเชิงอนุพันธ์ ซึ่งคือสมการที่เกี่ยวข้องกันระหว่าง ฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่า และอนุพันธ์ของมัน.
สมการเชิงอนุพันธ์นั้นมีอยู่ทั่วไปในวิทยาศาสตร์ การแปลงเชิงปริพันธ์
การแปลงเชิงปริพันธ์ () ในทางคณิตศาสตร์ หมายถึง การแปลง "T" ใดๆ ที่อยู่ในรูป อนุกรมสลับ
ในทางคณิตศาสตร์ อนุกรมสลับ คืออนุกรมอนันต์ที่อยู่ในรูป อนุพันธ์
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นมโนทัศน์หนึ่งในสองมโนทัศน์หลักของแคลคูลัส (อีกมโนทัศน์หนึ่งคือปฏิยานุพันธ์ ซึ่งคือตัวผกผันของอนุพันธ์) อนุพันธ์
สัญกรณ์ของออยเลอร์มีประโยชน์ในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นเมื่อ "r" เป็นจำนวนจริงใด ๆ แล้ว แคลคูลัส
อนุพันธ์ (derivative) คือการหาค่าความเปลี่ยนแปลงของตัวแปรหนึ่ง เมื่ออีกตัวแปรหนึ่งเปลี่ยนแปลงในปริมาณที่น้อยมากๆ บางทีอนุพันธ์ที่เราจะได้พบครั้งแรกในโรงเรียนคือ สูตร "อัตราเร็ว = ระยะทาง/เวลา" สำหรับวัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วคงที่ อัตราเร็วของคุณซึ่งเป็นอนุพันธ์ที่บอกการเปลี่ยนแปลงตำแหน่งในระยะเวลาหนึ่ง วิชาแคลคูลัสพัฒนาขึ้น เพื่อจัดการกับปัญหาที่ซับซ้อนและเป็นธรรมชาติกว่านี้ ซึ่งอัตราเร็วของคุณอาจเปลี่ยนแปลงได้ ส่วนลงตัว
ในทางคณิตศาสตร์ ส่วนลงตัว (aliquot part หรือ aliquot) คือจำนวนเต็มบวกใดๆ ที่นำไปหารจำนวนเต็มบวกอีกจำนวนหนึ่งแล้วสามารถหารได้ลงตัว หรือเรียกได้ว่า "เป็นตัวหาร" เช่น 2 เป็นส่วนลงตัวของ 12 ผลบวกของส่วนลงตัวทั้งหมดของ "n" จะมีค่าเท่ากับ σ("n") ซึ่งหมายถึงฟังก์ชันตัวหาร (divisor function) ของ "n" คำว่า "aliquot" มาจากคำในภาษาละติน "aliquoties" แปลว่า "หลายครั้ง" ตราสารอนุพันธ์
ตลาดทางการเป็นตลาดที่มีสถานที่การทำการซื้อขายแน่นอน มีกระบวนการในการดำเนินงานเป็นไปตามกฎหมาย มีพระราชบัญญัติรองรับในการเปิดดำเนินงาน มีเวลาเปิดเวลาปิดแน่นอน ราคาซื้อขายมีการเสนอซื้อหรือขายอย่างเป็นระบบ มีช่วงห่างของการขึ้นหรือลงของราคา มีการประกาศราคาและข้อมูลในการลงทุนให้ผู้ลงทุนทราบตลอดเวลา ไม่ว่าจะเป็นการประกาศผ่านระบบอินเทอร์เน็ต สถานีโทรทัศน์ วิทยุ หรือแม้กระทั่งหนังสือพิมพ์ อนุพันธ์
ในพจน์ที่สองของ คำนวณโดยใช้กฎลูกโซ่ และพจน์ที่สามใช้กฎผลคูณ นอกจากนี้ยังใช้กฎการหาอนุพันธ์สำหรับฟังก์ชันพื้นฐาน ได้แก่ "x", "x", sin("x"), ln("x") และ รวมถึงค่าคงที่ 7 ในพจน์สุดท้าย ระบบพิกัดเชิงขั้ว
ทำอนุพันธ์ในเทอมของ θ ทั้งสองสมการ อนุกรม
อนุกรมของจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนจะเรียกว่าลู่เข้าตามเงื่อนไข (หรือกึ่งลู่เข้า) ถ้าอนุกรมนั้นลู่เข้า แต่ไม่ได้ลู่เข้าสัมบูรณ์ ตัวอย่างที่เห็นได้ชัดคืออนุกรมสลับเครื่องหมาย เช่น อนุพันธ์
ถ้า เป็นตัวแปรตาม แล้ว "x" จะเป็นตัวห้อยอยู่ใต้ "D" เพื่อบ่งบอกว่ากำลังเทียบกับตัวแปรต้น "x" ดังข้างล่าง
แต่ตัวห้อย "x" มักจะถูกละไว้ในฐานที่เข้าใจเพื่อความรวดเร็ว เมื่อมีตัวแปรต้นนี้อยู่ตัวเดียว การหาปริพันธ์ทีละส่วน
สมมติว่าเส้นโค้งนี้เรียบในบริเวณใกล้เคียง ทำให้กล่าวถึงปริพันธ์ไม่จำกัดเขต:
จัดรูปใหม่:
เพราะฉะนั้น การหาปริพันธ์ทีละส่วนสามารถพิจารณาได้ว่าพื้นที่สีน้ำเงินมาจากพื้นที่รวมลบด้วยพื้นที่สีแดง ตราสารอนุพันธ์
ความแตกต่างของการซื้อขายตราสารอนุพันธ์ในตลาดทางการและตลาดเจรจาต่อรองมีความแตกต่างกันอยู่หลายประการ เช่น ลักษณะของสัญญา ความเป็นมาตรฐาน การวางเงินประกัน สภาพคล่องของการซื้อขาย ความเสี่ยงจากการลงทุน และการส่งมอบและชำระราคา เป็นต้น สมการ
สมการมักใช้เป็นการกำหนดสภาความเท่ากันของสอง[นิพจน์]ที่มี[ตัวแปร]อย่างน้อยหนึ่งตัว ตัวอย่างเช่น เมื่อเราให้ค่าใดๆ กับ formula_2 สมการนี้จะเป็นจริงเสมอ อนุพันธ์
ฟังก์ชันกำลังสอง หาอนุพันธ์ได้ที่ และอนุพันธ์ของมันที่ตำแหน่งนั้นเท่ากับ 6 ผลลัพธ์นี้มาจากการคำนวณลิมิตของอัตราส่วนของผลต่างของ เมื่อ เข้าใกล้ศูนย์: อนุพันธ์
นิพจน์สุดท้ายแสดงให้เห็นว่าอัตราส่วนของผลต่างเท่ากับ เมื่อ และไม่นิยามเมื่อ เนื่องจากนิยามของอัตราส่วนของผลต่าง อย่างไรก็ตาม นิยามของลิมิตกล่าวว่าอัตราส่วนของผลต่างไม่จำเป็นต้องนิยามเมื่อ ลิมิตก็คือผลลัพธ์จากการให้ เข้าสู่ศูนย์ ซึ่งหมายถึงแนวโน้มของค่า เมื่อ มีค่าน้อยลงมาก ๆ อนุพันธ์
อนุพันธ์ของฟังก์ชันตัวแปรเดียวที่ตัวแปรต้นใด ๆ คือความชันของเส้นสัมผัสที่สัมผัสกับกราฟของฟังก์ชันที่จุดนั้น เส้นสัมผัสคือการประมาณเชิงเส้นของฟังก์ชันที่ดีที่สุดใกล้กับตัวแปรต้นนั้น ด้วยเหตุนี้ อนุพันธ์มักอธิบายได้ว่าเป็น "อัตราการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่ง" ซึ่งก็คืออัตราส่วนของการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่งของตัวแปรตามต่อตัวแปรต้นหรือตัวแปรอิสระ สถานะคงที่
สมมติให้ formula_3 เป็นตัวดำเนินการที่ไม่ขึ้นกับเวลา ดังนั้นเราจะสามารถอธิบายการเปลี่ยนแปลงของ formula_2 ที่ขึ้นกับเวลาโดยใช้สมการเชิงอนุพันธ์ ซึ่งจะมีคำตอบเป็น การดำเนินการทวิภาค
ในทางคณิตศาสตร์ การดำเนินการทวิภาค หมายถึงการคำนวณที่ต้องเกี่ยวข้องกับตัวถูกดำเนินการสองค่า หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง หมายถึงการดำเนินการที่มีอาริตี้ (arity) เท่ากับสอง การดำเนินการทวิภาคสามารถคำนวณให้สำเร็จได้โดยใช้ฟังก์ชันทวิภาคหรือตัวดำเนินการทวิภาคอย่างใดอย่างหนึ่ง การดำเนินการทวิภาคบางครั้งถูกเรียกว่าเป็น "dyadic operation" ในภาษาอังกฤษเพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนกับระบบเลขฐานสอง (binary numeral system) ตัวอย่างการดำเนินการทวิภาคที่คุ้นเคยเช่น การบวก การลบ การคูณ และการหาร เป็นต้น ระบบการซื้อขายล่วงหน้า
ระบบการซื้อขายล่วงหน้า หรือ ระบบการซื้อขายตราสารอนุพันธ์ () คือระบบการซื้อขายของตลาดหลักทรัพย์ที่ผู้ที่เข้าร่วมทำการซื้อขายสัญญาซื้อขายล่วงหน้า (futures contracts) สัญญาการซื้อล่วงหน้าเป็นสัญญาในการซื้อสินค้าโภคภัณฑ์ (commodity) หรือ ตราสารทางการเงิน (financial instrument) ตามจำนวนและราคาที่ระบุ และที่ตั้งไว้ในเวลาที่ระบุในอนาคต โซลิตอน
ดราซิน (Drazin) และจอห์นสัน (Johnson) ในหนังสือของเขา ได้ให้คำจำกัดความของโซลิตอนอย่างง่าย โดยไม่ใช้สมการคณิตศาสตร์ว่า โซลิตอน คือคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ไม่เป็นเชิงเส้น ซึ่ง อนุภาค
อนุภาคที่เล็กกว่าอะตอม ซึ่งอาจหมายถึงอย่างใดอย่างหนึ่งต่อไปนี้: อนุภาคมูลฐาน คืออนุภาคซึ่งเป็นองค์ประกอบของอนุภาคที่ใหญ่กว่า หรือเรียกอีกอย่างว่า อนุภาคพื้นฐาน Composite particle คือสถานะที่ติดตรึงกันระหว่างอนุภาคมูลฐานต่าง ๆ อนุภาคจุด คือ อนุภาคในอุดมคติที่ไม่มีปริมาตร ตราสารอนุพันธ์
กลไกการซื้อขายตราสารอนุพันธ์ เป็นการทำสัญญาเพื่อซื้อขายแลกเปลี่ยนสินค้าอ้างอิงในอนาคต ซึ่งมีความแตกต่างจากการซื้อสินค้าหรือบริการโดยทั่วไป ซึ่งมีการซื้อขายที่มีการชำระเงินและส่งมอบสินค้าและบริการทันทีโดยการซื้อขายนั้นต้องผ่านระบบตลาดอนุพันธ์ การซื้อขายตราสารอนุพันธ์โดยผ่านระบบตลาดอนุพันธ์นั้นสามารถแบ่งตลาดที่ว่าออกได้เป็น 2 รูปแบบคือ