ฟังก์ชันเลขชี้กำลังจะเกิดขึ้น เมื่อใดก็ตามที่ปริมาณอย่างหนึ่งเติบโตหรือเสื่อมสลายในอัตราที่ได้สัดส่วนกับค่าปัจจุบันใช่หรือไม่?
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ฟังก์ชันเลขชี้กำลังจะเกิดขึ้น เมื่อใดก็ตามที่ปริมาณอย่างหนึ่งเติบโตหรือเสื่อมสลายในอัตราที่ได้สัดส่วนกับค่าปัจจุบัน ตัวอย่างสถานการณ์นี้เช่นดอกเบี้ยทบต้นต่อเนื่อง เมื่อ ค.ศ. 1683 ยาคอบ แบร์นูลลี (Jocob Bernoulli) พบว่ามันเป็นเช่นนั้นโดยข้อเท็จจริง [4] และนำไปสู่จำนวน e ที่ไม่ทราบค่าดังนี้
แฟกทอเรียล
ฟังก์ชันพายไม่ได้เป็นเพียงฟังก์ชันเดียวที่ขยายแฟกทอเรียล ไปเป็นฟังก์ชันสำหรับจำนวนเชิงซ้อนเกือบทุกจำนวน และไม่ได้เป็นเพียงฟังก์ชันเดียวที่เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ (analytic function) เมื่อใดก็ตามที่มันถูกนิยาม แต่ไม่ว่าด้วยเหตุผลอันใด ฟังก์ชันพายมักเป็นตัวแทนโดยปริยายเมื่อต้องการหาค่าแฟกทอเรียลของจำนวนเชิงซ้อน ตัวอย่างเช่น ทฤษฎีบทบอร์-โมลเลอรัประบุว่า ฟังก์ชันแกมมาเป็นฟังก์ชันเดียวที่รับค่า 1 แล้วให้ผลลัพธ์เป็น 1, สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชัน Γ("n" + 1) = "n"Γ("n"), เป็นฟังก์ชันมีโรมอร์ฟิก (meromorphic function) บนจำนวนเชิงซ้อน, และเป็นฟังก์ชันคอนเวกซ์เชิงลอการิทึม (logarithmically convex function) บนแกนจำนวนจริงบวก เงื่อนไขที่คล้ายกันนี้ก็ปรากฏในฟังก์ชันพาย โดยเปลี่ยนสมการเชิงฟังก์ชันเป็น Π("n") = "n"Π("n" − 1) การยกกำลัง
ลิมิตของลำดับของกำลังของจำนวนที่มากกว่า 1 จะลู่ออก หมายความว่าจะมีค่าเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ โดยไม่จำกัด
อาจเรียกได้ว่า "a" ยกกำลัง "n" จะมีค่าเข้าใกล้อนันต์ถ้า "n" มีค่าเข้าใกล้อนันต์ เมื่อ "a" มีค่ามากกว่า 1 ขั้นตอนวิธีของเฟรย์วัลส์
สมมุติว่าต้องการทำขั้นตอนวิธีนี้ซ้ำกัน formula_32 ครั้ง พบว่าความน่าจะเป็นในการตอบผิดมีค่า ≤ formula_33 ซึ่งมีค่าลดลงเป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลังเมื่อเทียบกับค่า formula_32 ฟังก์ชันคงตัว
ในทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันคงตัว (constant function) หมายถึงฟังก์ชันที่ให้ผลลัพธ์ไม่เปลี่ยนแปลง ไม่ว่าจะให้ค่าตัวแปรต้นเป็นค่าใดๆ คำตอบจะออกมาเป็นค่าคงตัวค่าเดิม ตัวอย่างเช่น ถ้าเรามีฟังก์ชัน "f"("x") = 4 แล้ว "f" จะเป็นฟังก์ชันคงตัว เนื่องจาก "f" จับคู่ทุกค่าของ "x" ไปยัง 4 สำหรับการอธิบายแบบทั่วไป "f" : "A" → "B" จะเป็นฟังก์ชันคงตัวเมื่อ "f"("x") = "f"("y") สำหรับทุกค่าของ "x" และ "y" ที่เป็นสมาชิกของเซต "A" จำนวนจุดลอยตัว
เลขนัยสำคัญ × ฐาน เลขชี้กำลัง ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
นั่นคือ ex เป็นอนุพันธ์ของตัวเอง และเป็นตัวอย่างพื้นฐานอันหนึ่งของฟังก์ชันแบบพฟัฟฟ์ (Pfaffian function) ฟังก์ชันต่าง ๆ ที่อยู่ในรูปแบบ cex ซึ่ง c เป็นค่าคงตัว เป็นฟังก์ชันกลุ่มเดียวที่มีสมบัติเช่นนี้ (จากทฤษฎีบทปิการ์-ลินเดเลิฟ (Picard–Lindelöf theorem)) หรือกล่าวให้เจาะจงได้ว่า กำหนดให้ k เป็นค่าคงตัวจำนวนจริงใด ๆ ฟังก์ชัน f: R→R จะสอดคล้องกับเงื่อนไข f ′ = kf ก็ต่อเมื่อ f(x) = cekx สำหรับค่าคงตัว c บางจำนวน การอธิบายด้วยวิธีอื่นที่ให้ผลเหมือนกันเช่น ฟังก์ชันกำเนิด
เนื่องจากพิกัดระบบเก่าและใหม่เป็นอิสระต่อกัน ดังนั้นสมการข้างต้นจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
e z + w = e z e w {\displaystyle e^{z+w}=e^{z}e^{w}\,} e 0 = 1 {\displaystyle e^{0}=1\,} e z ≠ 0 {\displaystyle e^{z}\neq 0} d d z e z = e z {\displaystyle {d \over dz}e^{z}=e^{z}} การยกกำลัง
ฟังก์ชันเลขชี้กำลังซึ่งนิยามโดยลิมิตต่อไปนี้
มี "x" เป็นเลขชี้กำลังเพิ่มเข้ามา และสอดคล้องกับเอกลักษณ์การยกกำลัง การยกกำลัง
กำหนดให้จำนวนเชิงการนับ κ ที่ไม่จำกัดและเซต "A" เซตหนึ่ง สัญกรณ์ "A" ก็ยังใช้แสดงถึงเซตของฟังก์ชันทั้งหมดจากเซตที่มีขนาดเท่ากับ κ ไปยัง "A" บางครั้งก็เขียนในรูปแบบ "A" เพื่อทำให้แตกต่างจากการยกกำลังเชิงการนับ ดังที่จะได้กล่าวต่อไป ปัญหาวันเกิด
การกระจายอนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง (ค่าคงตัว e ≈ 2.718281828)
สามารถประมาณค่า "e" อันดับที่หนึ่งเมื่อ "x" ≪ 1 ดังนี้ ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง
เมื่อเขียนด้วยสัญลักษณ์ การยกกำลัง
เอกลักษณ์และสมบัติที่แสดงไว้ด้านบนซึ่งนิยามไว้สำหรับเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม ก็ยังคงเป็นจริงอยู่สำหรับเลขชี้กำลังจำนวนจริงบวกที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม อย่างไรก็ตามเอกลักษณ์นี้
ไม่สามารถขยายแนวคิดได้อย่างคงเส้นคงวาถ้า "a" เป็นจำนวนจริงลบ ดูเพิ่มที่หัวข้อรากที่ "n" ที่เป็นลบ ความผิดพลาดของเอกลักษณ์นี้เป็นมูลฐานของปัญหาที่เกี่ยวกับกำลังของจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งได้อธิบายไว้แล้วที่หัวข้อความผิดพลาดของเอกลักษณ์กำลังและลอการิทึม ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์)
ชนิดของฟังก์ชันธรรมดาเกิดจากที่ทั้งอาร์กิวเมนต์และค่าของฟังก์ชันเป็นตัวเลขทั้งคู่ ความสัมพันธ์ของฟังก์ชันมักจะเขียนในรูปสูตร และจะได้ค่าของฟังก์ชันมาทันทีเพียงแทนที่อาร์กิวเมนต์ลงในสูตร เช่น ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ฟังก์ชันเลขชี้กำลังสองชั้น (double exponential function) อาจมีความหมายหนึ่งในสองอย่างดังต่อไปนี้ ฟังก์ชันเครื่องหมาย
นิยามของฟังก์ชันเครื่องหมายมีดังนี้ เมื่อ "x" เป็นจำนวนจริง การยกกำลัง
แต่หากฐาน "a" มีค่าเข้าใกล้ 1 พร้อมกับเลขชี้กำลังมีค่าเข้าใกล้อนันต์ ลิมิตของมันไม่สำคัญว่าจะต้องเท่ากับ 1 ตัวอย่างกรณีหนึ่งที่สำคัญคือ
ดูเพิ่มในกำลังของ "e" ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
เศษส่วนต่อเนื่องของ ex สามารถนำมาจากเอกลักษณ์ข้อหนึ่งของออยเลอร์ สัญกรณ์โอใหญ่
หมายความว่า เมื่อ "x" มีค่าเข้าใกล้ศูนย์ ผลต่างของฟังก์ชันformula_49 กับ formula_50 (หรืออาจกล่าวอีกนัยหนึ่งว่าเป็นความคลาดเคลื่อนของสองฟังก์ชันนี้) จะมีอยู่ในสับเซตของformula_51นั่นเอง หรือเขียนเป็นสัญลักษณ์ว่า ลำดับการดำเนินการ
เมื่อพบวงเล็บหรือเลขยกกำลังในนิพจน์ ให้ดำเนินการคำนวณนิพจน์ย่อยที่อยู่ในวงเล็บหรือคำนวณเลขยกกำลังก่อน ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ฟังก์ชันเลขชี้กำลังสามารถนิยามบนระนาบเชิงซ้อนได้หลายรูปแบบเทียบเท่ากัน เช่นเดียวกับกรณีของจำนวนจริง การนิยามเหล่านี้บางอย่างเหมือนสูตรต่าง ๆ ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังสำหรับจำนวนจริง หากกล่าวโดยเฉพาะเจาะจง เรายังสามารถใช้นิยามอนุกรมกำลังซึ่งค่าจริงถูกแทนที่ด้วยค่าเชิงซ้อน ฟังก์ชันกำเนิด
โดยที่ จะเป็นฟังก์ชันกำเนิด (Generating function) ขึ้นกับพิกัดและโมเมนตัมทั้งในระบบเก่า ( หรือ ) และระบบใหม่ ระบบเก่า ( หรือ ) และ จะเป็นตัวปรับขนาดของการแปลง (Scale transformation) สำหรับการแปลงแบบบัญญัติจะให้ formula_5 ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ฟังก์ชันเลขชี้กำลังในฐานอื่นคือ ฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะ
ในทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะ () มีค่าเท่ากับจำนวนของจำนวนเฉพาะที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับจำนวนจริง "x" หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะเป็นฟังก์ชันที่หาว่า "x" เป็นจำนวนเฉพาะลำดับที่เท่าไร เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ π("x") ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
การขยายแนวคิดของลอการิทึมธรรมชาติไปยังจำนวนเชิงซ้อน ทำให้ ln(z) เป็นฟังก์ชันหลายค่า (multi-valued function) การยกกำลังสามารถเขียนให้อยู่ในรูปทั่วไปมากขึ้นดังนี้ ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ถ้าอัตราการเติบโตหรือเสื่อมสลายของตัวแปรได้สัดส่วนกับขนาดของตัวแปร เช่นการเติบโตของประชากรอย่างไม่จำกัด ดอกเบี้ยทบต้นต่อเนื่อง หรือการสลายตัวของสารกัมมันตรังสี ตัวแปรนั้นจะสามารถเขียนในรูปแบบค่าคงตัวคูณด้วยฟังก์ชันเลขชี้กำลังของเวลา ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
e x = 1 + x 1 − x x + 2 − 2 x x + 3 − 3 x x + 4 − 4 x x + 5 − 5 x x + 6 − ⋱ {\displaystyle e^{x}=1+{\cfrac {x}{1-{\cfrac {x}{x+2-{\cfrac {2x}{x+3-{\cfrac {3x}{x+4-{\cfrac {4x}{x+5-{\cfrac {5x}{x+6-\ddots }}}}}}}}}}}}} ฟังก์ชันบ่งชี้
ฟังก์ชันบ่งชี้ของเซตย่อย "A" ของเซต "X" คือฟังก์ชัน
นิยามโดย ภาษาซี
ภาษาซีรองรับการใช้งานตัวชี้ (pointer) ซึ่งเป็นชนิดข้อมูลสำหรับ[[การอ้างอิง (วิทยาการคอมพิวเตอร์)|การอ้างอิง]]อย่างง่ายชนิดหนึ่ง ที่เก็บบันทึกที่อยู่หรือตำแหน่งของวัตถุหรือฟังก์ชันในหน่วยความจำ ตัวชี้สามารถ "อ้างอิงกลับ" (dereference) เพื่อเข้าถึงข้อมูลที่บันทึกในตำแหน่งที่ถูกชี้อยู่ หรือเพื่อเรียกใช้ฟังก์ชันที่ถูกชี้อยู่ ตัวชี้สามารถจัดดำเนินการกำหนดค่าและ[[เลขคณิตของตัวชี้]]ได้ด้วย ค่าของตัวชี้ขณะโปรแกรมทำงาน มักจะเป็นตำแหน่งมูลฐานในหน่วยความจำ (ซึ่งอาจเสริมด้วยค่าออฟเซตในหน่วยเวิร์ด) แต่เนื่องจากตัวชี้มีการระบุชนิดตามข้อมูลที่ชี้ไป ตัวแปลโปรแกรมจึงสามารถตรวจสอบชนิดตัวแปรในนิพจน์ต่าง ๆ รวมทั้งตัวชี้ด้วยกันเองขณะแปลได้ เลขคณิตของตัวชี้จะแปรสัดส่วนของขนาดโดยอัตโนมัติตามชนิดข้อมูลที่ชี้ไป (ดูเพิ่มที่ส่วน[[#ความใช้แทนกันได้ระหว่างตัวชี้และแถวลำดับ|ความใช้แทนกันได้ระหว่างตัวชี้และแถวลำดับ]]) จุดประสงค์ของการใช้ตัวชี้มีหลากหลายในภาษาซีเช่น สายอักขระมักจัดดำเนินการโดยใช้ตัวชี้ไปยังแถวลำดับของตัวอักขระ [[การจัดสรรหน่วยความจำพลวัต]] (dynamic memory allocation) สามารถกระทำได้ด้วยตัวชี้ ชนิดข้อมูลชนิดอื่นเช่น [[ต้นไม้ (โครงสร้างข้อมูล)|ต้นไม้]] ปกติจะถูกพัฒนาขึ้นโดยการจัดสรรวัตถุ codice_19 โดยพลวัต ซึ่งเชื่อมโยงแต่ละหน่วยเข้ากันด้วยตัวชี้ ตัวชี้ของฟังก์ชันใช้เพื่อ[[การเรียกกลับ]] (callback) สำหรับชุดคำสั่งจัดการเหตุการณ์ เป็นต้น ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
e 2 x / y = 1 + 2 x y − x + x 2 3 y + x 2 5 y + x 2 7 y + x 2 9 y + x 2 11 y + x 2 13 y + ⋱ {\displaystyle e^{2x/y}=1+{\cfrac {2x}{y-x+{\cfrac {x^{2}}{3y+{\cfrac {x^{2}}{5y+{\cfrac {x^{2}}{7y+{\cfrac {x^{2}}{9y+{\cfrac {x^{2}}{11y+{\cfrac {x^{2}}{13y+\ddots }}}}}}}}}}}}}}} รายชื่อเอกลักษณ์ลอการิทึม
ลอการิทึมและเลขชี้กำลัง (แอนติลอการิทึม) ที่อยู่ฐานเดียวกันจะยกเลิกฟังก์ชันนั้นด้วยกันเอง ซึ่งเป็นความจริงเพราะลอการิทึมและเลขชี้กำลังเป็นตัวดำเนินการย้อนกลับ (คล้ายกับการคูณกับการหาร หรือ การบวกกับการลบ) ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
จากนิยามใด ๆ เหล่านี้สามารถแสดงได้ว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นไปตามเอกลักษณ์การยกกำลังพื้นฐาน Representativeness heuristic
ความเป็นตัวแทนแม้ในลำดับสั้น ๆ เป็นข้อสมมุติอย่างหนึ่งที่เรามีเพราะเราอาศัยกฎการมีตัวอย่างน้อย (law of small numbers) คือเราคิดว่าตัวอย่างจำนวนน้อยจะมีระดับความเป็นตัวแทนของทั้งกลุ่ม เท่า ๆ กับเมื่อมีตัวอย่างมาก[13] ตัวอย่างจำนวนน้อยที่ดูเหมือนว่าเป็นไปโดยสุ่มจะเพิ่มกำลังให้กับความเชื่อว่าตัวอย่างทั้งกลุ่มจะเป็นไปโดยสุ่ม โดยมีเหตุจากข้อสมมุติเกี่ยวกับความเป็นตัวแทนในลำดับสั้น ๆ ในนัยตรงกันข้ามกัน ตัวอย่างจำนวนน้อยที่ดูไม่เหมือนสุ่มจะลดกำลังความเชื่อนี้ เช่น ถ้ามีการโยนเหรียญหลาย ๆ ครั้งและส่วนมากออกหัว ข้อสมมุติเกี่ยวกับความเป็นตัวแทนในลำดับสั้น ๆ จะทำให้เราเชื่อว่าเหรียญนี้มี้ความโน้มเอียงที่จะออกหัว การยกกำลัง
วิธีการใช้เลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะไม่สามารถใช้ได้กับค่า "a" ที่เป็นลบ เพราะวิธีการนี้ขึ้นอยู่กับความต่อเนื่อง หมายความว่า ฟังก์ชัน "f" ("r") = "a" เป็นการขยายจำนวนตรรกยะไปเป็นจำนวนจริงอย่างต่อเนื่องเพียงหนึ่งเดียวเมื่อ "a" > 0 แต่ในกรณี "a" < 0 ฟังก์ชัน "f" ไม่ต่อเนื่องบนเซตของจำนวนจริง "r" ที่กำหนดไว้แต่ละค่า ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ฟังก์ชันที่ประกอบด้วยพจน์เชิงเลขชี้กำลังสองพจน์ ซึ่งมีเลขชี้กำลังต่างกัน ฟังก์ชัน f ( x ) = a a x {\displaystyle f(x)=a^{a^{x}}} ฟังก์ชันนี้มีอัตราการเติบโตเร็วกว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังธรรมดา เช่นกำหนดให้ a = 10 จะได้ f(−1) = 1.26, f(0) = 10, f(1) = 1010, f(2) = 10100 = กูกอล, …, f(100) = กูกอลเพลกซ์ ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
สมการข้างต้นเป็นจริงสำหรับค่า c ทุกจำนวน แต่ผลลัพธ์ของอนุพันธ์เมื่อ c < 0 จะเป็นจำนวนเชิงซ้อน ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์)
ฟังก์ชันนั้นเรียกชื่อตามเรนจ์ของมัน เช่น ฟังก์ชันจำนวนจริง หรือ ฟังก์ชันจำนวนเชิงซ้อน ฟังก์ชันเครื่องหมาย
สำหรับจำนวนจริง "x" ใดๆ สามารถแสดงให้อยู่ในรูปผลคูณระหว่างค่าสัมบูรณ์กับฟังก์ชันเครื่องหมาย
จากสมการดังกล่าว เราจะได้ความหมายของฟังก์ชันเครื่องหมายอีกอย่างหนึ่ง เมื่อ "x" ไม่เท่ากับ 0 ดัชนีเศรษฐกิจ
เป็นข้อมูลสะท้อนภาวะเศรษฐกิจในแต่ละช่วงเวลา ที่แสดงให้เห็นจุดสูงสุดและต่ำสุดของวัฏจักรในแต่ละรอบ ทั้งนี้ให้ดูอัตราการขยายตัวของดัชนี (six-month smoothed annualized growth rate) ของดัชนีฯ ถ้ามีค่าเป็นบวก มีความหมายว่า เศรษฐกิจขยายตัว แต่ถ้าอัตราการขยายตัวของดัชนีเป็นลบอย่างต่อเนื่องมีความหมายว่าเศรษฐกิจชะลอตัว
เป็นดัชนีการกระจาย (Diffusion Index) ซึ่งแสดงทิศทางของภาวะธุรกิจ (ดีขึ้น ไม่เปลี่ยนแปลง หรือเลวลง) ดัชนีจะมีค่าสูงสุดเท่ากับ 100 และต่ำสุด เท่ากับ 0
การอ่านค่าดัชนี ใช้ เส้นกึ่งกลาง หรือค่า 50 เป็นเกณฑ์ กล่าวคือ 
ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ดังนั้นฟังก์ชันเลขชี้กำลังใด ๆ จึงเป็นพหุคูณค่าคงตัวของอนุพันธ์ของตัวเอง ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
e 2 = 7 + 2 5 + 1 7 + 1 9 + 1 11 + 1 13 + ⋱ {\displaystyle e^{2}=7+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{11+{\cfrac {1}{13+\ddots }}}}}}}}}}} อนุพันธ์
"การหาอนุพันธ์" เป็นการคำนวณเพื่อที่จะได้มาซึ่งอนุพันธ์ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ของตัวแปร คืออัตราที่ค่า ของฟังก์ชันเปลี่ยนแปลงไปต่อการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร เรียกว่า "อนุพันธ์"ของ เทียบกับ ถ้า และ เป็นจำนวนจริง และถ้ากราฟของฟังก์ชัน ลงจุดเทียบกับ อนุพันธ์ก็คือความชันของเส้นกราฟในแต่ละจุด
กรณีที่ง่ายที่สุด นอกเหนือจากกรณีของฟังก์ชันคงตัว คือเมื่อ เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของ ซึ่งหมายถึงกราฟของ จะเป็นเส้นตรง ในกรณีนี้ สำหรับจำนวนจริง และ และความชัน ซึ่งกำหนดโดยการเปลี่ยนแปลงของ หารด้วยการเปลี่ยนแปลงของ ดังสมการ
เมื่อสัญลักษณ์ (เดลตา) แทนคำว่า "การเปลี่ยนแปลง" สูตรนี้เป็นจริง เพราะว่า
เพราะฉะนั้น จะได้
ทำให้ได้ ขั้นตอนวิธีพีลบหนึ่งของพอลลาร์ด
อัตราการเติบโตของขั้นตอนวิธีนี้คือ O("B" × log "B" × log"n") โดยยิ่ง "B" มีค่ามาก ยิ่งทำให้ทำงานช้า แต่ทำให้โอกาสที่จะหาตัวประกอบพบนั้นเพิ่มมากขึ้น ฟังก์ชันบ่งชี้
ฟังก์ชันบ่งชี้ () หรือบางครั้งเรียกว่า "ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ" คือฟังก์ชันที่นิยามบนเซต "X" ซึ่งบ่งชี้ว่าสมาชิกตัวใดตัวหนึ่งจะเป็นสมาชิกของเซตย่อย "A" ใน "X" หรือไม่ โดยให้ค่าเป็น 1 ถ้าสมาชิกตัวนั้นอยู่ในเซต "A" หรือให้ค่าเป็น 0 ถ้าสมาชิกตัวนั้นไม่อยู่ในเซต "A" แต่ยังคงอยู่ในเซต "X" ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์)
ฟังก์ชันที่เราใช้ส่วนมักจะเป็น ฟังก์ชันหลายตัวแปร ค่าที่ได้จะขึ้นอยู่กับปัจจัยต่างๆกัน
จากมุมมองของคณิตศาสตร์ ตัวแปรทั้งหมดต้องแสดงอย่างชัดแจ้งเพื่อที่จะเกิดความสัมพันธ์แบบฟังก์ชัน - ไม่มีปัจจัย "ซ่อนเร้น" อยู่
และเช่นกัน จากมุมมองของคณิตศาสตร์ ไม่มีความแตกต่างเชิงคุณภาพระหว่างฟังก์ชันตัวแปรเดียวกับฟังก์ชันหลายตัวแปร
ฟังก์ชันสามตัวแปรจำนวนจริงนั้นก็คือฟังก์ชันของ "triple" (("x","y","z")) ของจำนวนจริง กราฟแสดงการเจริญเติบโต
กราฟแสดงการเจริญเติบโต () เป็นแบบจำลองการเจริญเติบโตต่อเวลา มีการใช้งานอย่างแพร่หลายในเชิงปริมาณทางชีววิทยา เช่น ขนาดของประชากร น้ำหนักร่างกาย หรือชีวมวล ค่าที่ได้จากการวัดสามารถนำมาเขียนกราฟซึ่งได้เป็นสมการทางคณิตศาสตร์ การก้าวหน้าเลขคณิต
ถ้าหากพจน์เริ่มต้นของการก้าวหน้าเลขคณิตลำดับหนึ่งคือ "a" และมีผลต่างร่วมของสมาชิกที่อยู่ติดกันเท่ากับ "d" ดังนั้นพจน์ที่ "n" ของลำดับนี้คือ
หรือในกรณีทั่วไป จะได้
หรือเขียนได้ด้วยรูปแบบความสัมพันธ์เวียนเกิด ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
แฟกทอเรียลก็เติบโตเร็วกว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลัง แต่ช้ากว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังสองชั้น ตัวอย่างของฟังก์ชันเลขชี้กำลังสองชั้นเช่น จำนวนแฟร์มาต์ (Fermat number) ที่ได้จากสูตร F ( m ) = 2 2 m + 1 {\displaystyle F(m)=2^{2^{m}}+1} และจำนวนแมร์แซนสองชั้น (double Mersenne number) ที่ได้จากสูตร M M ( p ) = 2 ( 2 p − 1 ) − 1 {\displaystyle MM(p)=2^{(2^{p}-1)}-1} เป็นต้น ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
เมื่อ a และ b เป็นค่าจริง (ดูเพิ่มที่สูตรของออยเลอร์) สูตรนี้เป็นตัวเชื่อมโยงฟังก์ชันเลขชี้กำลังเข้ากับฟังก์ชันตรีโกณมิติและฟังก์ชันไฮเพอร์บอลิก ดังนั้นฟังก์ชันมูลฐาน (elementary function) ทั้งหมดยกเว้นพหุนาม เป็นผลมาจากฟังก์ชันเลขชี้กำลังไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง ตัวบ่งปริมาณ (ทั้งหมด)
ฟังก์ชันประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณก็นับเป็นประโยค ดังนั้น ฟังก์ชันที่มีตัวบ่งปริมาณก็มีนิเสธได้ ส่วนใหญ่สัญลักษณ์แทนการนิเสธใช้ formula_21 อนึ่ง อาจใช้ตัวหนอน (~) แทน อนุพันธ์
อนุพันธ์ของฟังก์ชันตัวแปรเดียวที่ตัวแปรต้นใด ๆ คือความชันของเส้นสัมผัสที่สัมผัสกับกราฟของฟังก์ชันที่จุดนั้น เส้นสัมผัสคือการประมาณเชิงเส้นของฟังก์ชันที่ดีที่สุดใกล้กับตัวแปรต้นนั้น ด้วยเหตุนี้ อนุพันธ์มักอธิบายได้ว่าเป็น "อัตราการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่ง" ซึ่งก็คืออัตราส่วนของการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่งของตัวแปรตามต่อตัวแปรต้นหรือตัวแปรอิสระ ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
อย่างไรก็ตาม เมื่อ b ไม่ใช่จำนวนเต็ม ฟังก์ชันนี้จะเป็นฟังก์ชันหลายค่า เพราะ θ ไม่ได้มีเพียงหนึ่งเดียว เครื่องหมายบวกและลบ
ในคณิตศาสตร์และภาษาโปรแกรมส่วนใหญ่ กฎลำดับการดำเนินการหมายความว่า −5 เท่ากับ −25 เลขชี้กำลังมีความสำคัญมากกว่าตัวดำเนินการลบแบบเอกภาค ที่สำคัญกว่าการคูณหรือการหาร อย่างไรก็ตามในภาษาโปรแกรมบางภาษาและไมโครซอฟท์ เอกซ์เซล ตัวดำเนินการเอกภาคสำคัญที่สุด ดังนั้น −5^2 คือ 25 แต่ 0−5^2 คือ −25 แฟกทอเรียล
ยิ่งไปกว่านี้ ฟังก์ชันพายมีการเวียนเกิดเหมือนกับแฟกทอเรียล แต่ใช้กับจำนวนเชิงซ้อน "z" ทุกจำนวนที่นิยาม
โดยข้อเท็จจริงความสัมพันธ์เวียนเกิดไม่มีอีกต่อไปแล้ว เว้นแต่ในสมการเชิงฟังก์ชัน เมื่อแสดงในพจน์ของฟังก์ชันแกมมา สมการดังกล่าวจะเปลี่ยนเป็น การก้าวหน้าเลขคณิต
นี่เป็นรูปแบบทั่วไป ซึ่งเกิดขึ้นจากการคูณสมาชิกของการก้าวหน้าเลขคณิต 1 × 2 × ... × "n" ที่ได้นิยามไว้แล้วในแฟกทอเรียล "n"! ดังนั้นผลคูณของลำดับนี้
จะมีค่าเท่ากับ
โดยที่ "m" และ "n" เป็นจำนวนเต็มบวก การก้าวหน้าเรขาคณิต
ส่วนเลขชี้กำลังของ "r" ที่มีแต่จำนวนคี่ จะได้สูตร การยกกำลัง
กำลังของจำนวนจริงบวก "a" ซึ่งมีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ "m"/"n" ในพจน์น้อยที่สุด สอดคล้องกับ
เมื่อ "m" เป็นจำนวนเต็มและ "n" เป็นจำนวนเต็มบวก ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
นอกเหนือจากนี้ ฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ f(x) ชนิดใด ๆ เราสามารถหาอนุพันธ์ได้โดยใช้กฎลูกโซ่ดังนี้ การยกกำลัง
ถ้าหากฐานของการดำเนินการยกกำลังเป็นเซต การดำเนินการนั้นจะเรียกว่าผลคูณคาร์ทีเซียนเมื่อไม่มีเงื่อนไขอื่นเพิ่มเติม เนื่องด้วยผลคูณคาร์ทีเซียนต่าง ๆ ให้ผลเป็น "n" สิ่งอันดับ ("n"-tuple) ซึ่งสามารถแสดงแทนด้วยฟังก์ชันบนเซตที่มีภาวะเชิงการนับที่เหมาะสม ดังนั้น "S" จึงหมายถึงเซตของฟังก์ชันทั้งหมดจาก "N" ไปยัง "S" ในกรณีนี้
สิ่งนี้เข้ากันได้กับการยกกำลังของจำนวนเชิงการนับในแง่ที่ว่า |"S"| = |"S"| เมื่อ |"X"| หมายถึงภาวะเชิงการนับของ "X"; เมื่อ "2" ถูกนิยามเป็นเซต {0, 1} เราจะได้ |2| = 2 เมื่อ 2 ซึ่งโดยปกติแสดงด้วย P ("X") คือเซตกำลังของ "X"; เซตย่อย "Y" แต่ละเซตของ "X" สอดคล้องกันแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับฟังก์ชันบน "X" ที่ให้ค่า 1 สำหรับ "x" ∈ "Y" และค่า 0 สำหรับ "x" ∉ "Y" การยกกำลัง
การใส่ตัวยกจำนวนเต็มถัดจากชื่อหรือสัญลักษณ์ของฟังก์ชัน ซึ่งดูเหมือนว่าฟังก์ชันนั้นกำลังถูกยกกำลัง โดยทั่วไปจะหมายถึงการประกอบฟังก์ชัน (function composition) มากกว่าจะเป็นการคูณซ้ำ ๆ ดังนั้น "f" ("x") จึงอาจหมายถึง "f" ("f" ("f" ("x") ) ) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง "f" ("x") ตามปกติใช้แสดงถึงฟังก์ชันผกผันของ "f"; ฟังก์ชันซ้อน (iterated function) ที่เกิดจากการประกอบฟังก์ชันเป็นประโยชน์ในการศึกษาแฟร็กทัลและระบบเชิงพลวัต (dynamical system) ชาร์ลส แบบเบจ เป็นคนแรกที่เริ่มศึกษาปัญหาการหาค่าของรากที่สองเชิงฟังก์ชัน "f" ("x") จำนวนจุดลอยตัว
เมื่อเลขชี้กำลังเป็นบวกหรือลบ จะเก็บบันทึกเป็นจำนวนไม่มีเครื่องหมายซึ่งบวกไบแอส (bias) แบบคงที่เข้าไป (เช่นค่า −9 บวกด้วยไบแอส 15 จะเก็บเป็นค่า 6) เมื่อเลขชี้กำลังเป็น 0 ทุกบิต จะสงวนไว้สำหรับค่าศูนย์และจำนวนต่ำกว่าบรรทัดฐาน และเมื่อเลขชี้กำลังเป็น 1 ทุกบิต จะสงวนไว้สำหรับค่าอนันต์และ NaN พิสัยของเลขชี้กำลังของจำนวนบรรทัดฐานคือ [−126, 127] สำหรับความเที่ยงหนึ่งเท่า [−1022, 1023] สำหรับความเที่ยงสองเท่า ฯลฯ จำนวนบรรทัดฐานไม่รวมค่าทั้งสี่ประเภทได้แก่ ศูนย์ จำนวนต่ำกว่าบรรทัดฐาน อนันต์ และ NaN อ็องตวน-โอกุสแต็ง กูร์โน
มีข้อสำคัญที่ควรสังเกตคือ จากฟังก์ชันอุปสงค์ยังไม่เป็นการกำหนดอุปสงค์ที่อยู่ในยุคปัจจุบัน เส้นโค้งของเขาที่ D = F (p) นั่นเป็นเพียงการสรุปความสัมพันธ์ระหว่างราคาและปริมาณที่มาจาการสังเกตราคาและการซื้อขายโดยทั่วไปที่มองจากฐานะของผู้ซื้อ หรือผู้อุปสงค์กล่าวคือ เมื่อราคาสูงขึ้น ความต้องการสินค้าจะมีในปริมาณที่น้อยลง แปรผกผันกัน กูร์โนปฏิเสธทฤษฎีทั้งหลายที่มีพื้นฐานมาจากทฤษฎีอรรถประโยชน์ที่ว่าด้วยพฤติกรรมที่ทำให้เกิดอุปสงค์เขาได้อีกกล่าวว่า" แนวความคิดของอรรถประโยชน์ ความขาดแคลนและความเหมาะสมที่จำเป็นและความเพลิดเพลินเกี่ยวกับมนุษยชาติคือตัวแปรและความไม่แน่นอนทางธรรมชาติ" ผลลัพธ์ที่ได้คือความเหมาะสมอันเลวร้ายสำหรับการสร้างทฤษฎีโดยอาศัยหลักแห่งความเป็นจริง"the utility of the article, the nature of the services it can render or the enjoyments it can procure, on the habits and customs of the people, on the average wealth, and on the scale on which wealth is distributed." เขามั่นใจในความคิดของตัวเขาเอง เขากล่าวว่า " รูปแบบฟังก์ชันของเขา ขึ้นอยู่กับประโยชน์ที่ได้รับจากสินค้า และสิ่งที่แสดงออกในการบริการบนพื้นฐานของความเป็นมนุษย์" การยกกำลัง
ไม่ว่าวิธีการใช้ลอการิทึมหรือเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ ก็ไม่สามารถนิยาม "a" ให้เป็นจำนวนจริงได้ สำหรับ "a" ที่เป็นจำนวนจริงลบและทุกช่วงค่าของจำนวนจริง "r" และทำนองเดียวกัน "e" ให้ผลลัพธ์เป็นบวกสำหรับทุกช่วงค่าของจำนวนจริง "r" ดังนั้น ln ("a") ซึ่งเป็นฟังก์ชันผกผันจึงไม่อาจนิยามให้เป็นจำนวนจริงได้สำหรับ "a" ≤ 0 (ในทางตรงข้าม กำลังเชิงซ้อนของจำนวนลบ "a" สามารถนิยามได้ด้วยลอการิทึมเชิงซ้อนของ "a") ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
e z = ∑ n = 0 ∞ z n n ! {\displaystyle e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}} ตัวบ่งปริมาณ (ทั้งหมด)
ในทฤษฎีประเภท และทฤษฎีทอพอโลยีพื้นฐาน ตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด เป็นที่เข้าใจโดยทั่วไปว่าเป็นจุดเชื่อม (Adjoint) ด้านขวาของฟังก์เตอร์ (Functor) ระหว่างสองพาวเวอร์เซต ภาพผกผันฟังก์เตอร์ของฟังก์ชันระหว่างสองเซต คล้ายกัน ตัวบ่งปริมาณแบบบางตัวเป็นจุดเชื่อมด้านซ้าย ตัวบ่งปริมาณ (ทั้งหมด)
ในทางตรงกันข้าม เมื่อเป็น ↑, ↓, ↛, และ ← ตัวบ่งปริมาณจะเปลี่ยนไป ฟังก์ชันเครื่องหมาย
ที่จำนวนจริง "x" เราสามารถสร้างฟังก์ชันเครื่องหมายในรูปแบบของฟังก์ชันนัยทั่วไป (generalized function) คือ formula_13 โดยนิยามให้ formula_14 บนทุกๆ ค่าของ "x" รวมทั้งจุดที่ "x" = 0 (ซึ่งต่างกับ sgn คือ formula_15) และถึงแม้ว่าฟังก์ชันนัยทั่วไปนี้สามารถทำให้เกิดพีชคณิตของฟังก์ชันได้ แต่จะเสียสมบัติการสลับที่ไป โดยเฉพาะฟังก์ชันเดลตาของดิแร็กที่เป็นคู่ต่างสลับที่ของฟังก์ชันนี้ 
นอกจากนั้น formula_17 ไม่สามารถประเมินค่าได้ที่ "x" = 0 ดังนั้นความหมายของ formula_18 จึงสำคัญที่จะแยกแยะออกจากฟังก์ชัน sgn (นั่นคือ formula_19 ไม่นิยาม แต่ในขณะที่ sgn(0) = 0) ลำดับการดำเนินการ
ตัวอย่างการดำเนินการทั่วไปในคณิตศาสตร์ที่ใช้ในการอธิบายลำดับความสำคัญได้แก่ เลขยกกำลัง(^n หรือ ) วงเล็บ(() หรือ [])การหาร (÷) การคูณ (×) การลบ (−) และ การบวก (+) 
เป็นที่ตกลงกันโดยนักคณิตศาสตร์ทั่วโลกว่าลำดับของการดำเนินการต้องเป็นความเข้าใจที่ตรงกัน เพื่อให้การแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่มีการดำเนินการมากกว่าหนึ่งครั้งเป็นไปอย่างถูกต้อง ไม่เช่นนั้นคำตอบที่ได้จะผิดเพี้ยนไป การก้าวหน้าเรขาคณิต
ส่วนเลขชี้กำลังของ "r" ที่มีแต่จำนวนคี่
จะได้สูตร ตัวบ่งปริมาณ (บางตัว)
ฟังก์ชันประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณก็นับเป็นประโยค ดังนั้น ฟังก์ชันที่มีตัวบ่งปริมาณก็มีนิเสธได้ ส่วนใหญ่สัญลักษณ์แทนการนิเสธใช้ formula_20 การก้าวหน้าเลขคณิต
โดยที่สัญลักษณ์ formula_10 หมายถึงผลคูณลำดับเพิ่ม (rising sequential product) และ formula_11 แทนฟังก์ชันแกมมา อย่างไรก็ตามสูตรนี้จะใช้งานไม่ได้เมื่อ เป็นจำนวนเต็มลบหรือศูนย์ การยกกำลัง
กำหนดให้ κ และ λ เป็นจำนวนเชิงการนับ นิพจน์ κ หมายถึงภาวะเชิงการนับของ เซตของฟังก์ชันจากเซตใด ๆ ที่มีภาวะเชิงการนับ λ ไปยังเซตใด ๆ ที่มีภาวะเชิงการนับ κ ถ้า κ และ λ เป็นจำนวนจำกัด นิพจน์นี้จะคล้อยตามการดำเนินการยกกำลังเชิงเลขคณิตธรรมดา ตัวอย่างเช่น เซตของสามสิ่งอันดับ ของสมาชิกจากเซตของสองสิ่งอันดับ จะมีภาวะเชิงการนับเท่ากับ 8 = 2 ฟังก์ชันบ่งชี้
สัญกรณ์ที่ใช้อาจพบเป็นอย่างอื่นเช่น ความเติบโตทางเศรษฐกิจ
ความเจริญเติบโตทางเศรษฐกิจ () หมายถึงการเพิ่มขึ้นของอัตราส่วนของผลผลิตต่อวัตถุดิบที่ใช้เพื่อการผลิต และเป็นการเพิ่มขึ้นของประสิทธิผลของแรงงานและการเพิ่มประสิทธิผลของปัจจัยการผลิต สมถรรนะในการผลิตของแรงงานจะเพิ่มขึ้นโดยผ่านกระบวนการเรียนรู้ด้วยการศึกษาอย่างเป็นระบบหรือการอบรม สมถรรนะในการผลิตของทุนจะเพิ่มขึ้นด้วยการปรับปรุงเทคโนโลยีการผลิตและการใช้ปัจจัยทุนเข้มข้นมากขึ้น การขยายตัวทางเศรษฐกิจยิ่งเร็วเท่าใดแสดงว่ามีการเสียสละทรัพยากรเพื่อการบริโภคในปัจจุบันเพื่อนำไปใช้ในการลงทุนยิ่งมากขึ้น การยกกำลัง
ในการกำหนดที่ไม่เกี่ยวข้องกับความต่อเนื่องของเลขชี้กำลัง การตีความว่า 0 คือ 1 ช่วยให้สูตรต่าง ๆ ง่ายขึ้นและไม่จำเป็นต้องนำเอาทฤษฎีบทอื่นมาอธิบายเป็นกรณีพิเศษ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
e x = lim n → ∞ ( 1 + x n ) n {\displaystyle e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}} ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นการจับคู่ (map) เส้นตรงบนระนาบเชิงซ้อน ไปยังเส้นเวียนก้นหอยเชิงลอการิทึม (logarithmic spiral) บนระนาบเชิงซ้อนที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด มีกรณีพิเศษสองกรณีได้แก่ เมื่อเส้นตรงขนานกับแกนจริง เส้นเวียนก้นหอยจะไม่เวียนใกล้เข้ามาหาตัวเอง และเมื่อเส้นตรงขนานกับแกนจินตภาพ เส้นเวียนก้นหอยจะกลายเป็นรูปวงกลมที่มีรัศมีขนาดหนึ่ง ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ฟังก์ชันเลขชี้กำลังขยายแนวคิดเป็นฟังก์ชันทั่ว (entire function) ชนิดหนึ่งบนระนาบเชิงซ้อน สูตรของออยเลอร์เกี่ยวข้องกับค่าของฟังก์ชันเมื่อส่งค่าอาร์กิวเมนต์ส่วนจินตภาพไปยังฟังก์ชันตรีโกณมิติ ฟังก์ชันเลขชี้กำลังก็มีสิ่งที่คล้ายกันสำหรับอาร์กิวเมนต์ที่เป็นเมทริกซ์ หรือแม้แต่สมาชิกของพีชคณิตแบบบานัค (Banach algebra) หรือพีชคณิตแบบลี (Lie algebra) ฟังก์ชันต่อเนื่อง
ในทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันต่อเนื่อง () คือฟังก์ชันที่ถ้าตัวแปรต้นมีค่าเปลี่ยนแปลงไปเพียงเล็กน้อย ผลลัพธ์ก็จะมีค่าเปลี่ยนแปลงไปเพียงเล็กน้อยด้วยเช่นกัน เราเรียกฟังก์ชันที่การเปลี่ยนแปลงไปเพียงเล็กน้อยของค่าของตัวแปรต้นทำให้เกิดการก้าวกระโดดของผลลัพธ์ของฟังก์ชันว่า ฟังก์ชันไม่ต่อเนื่อง (discontinuous function) ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
( a c x ) ′ = a c x ln ⁡ a ⋅ c , c > 0 {\displaystyle \left(a^{cx}\right)'={a^{cx}\ln a\cdot c},\qquad c>0} ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
สำหรับจำนวนเชิงซ้อน z และ w ทุกจำนวน การยกกำลังนี้จึงเป็นฟังก์ชันหลายค่าตามไปด้วย กฎการยกกำลังที่ระบุไว้ข้างต้นยังคงเป็นจริง ถ้าตีความว่าเป็นประโยคที่เกี่ยวกับฟังก์ชันหลายค่าอย่างถูกต้อง อย่างไรก็ตามกฎการคูณเลขชี้กำลังสำหรับจำนวนจริงบวก ไม่สามารถใช้ได้ในบริบทของฟังก์ชันหลายค่า นั่นคือ ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
กราฟของฟังก์ชัน y = ex มีลักษณะตั้งชันขึ้นและมีอัตราเพิ่มค่าเร็วยิ่งขึ้นเมื่อ x เพิ่มขึ้น กราฟจะวางตัวอยู่เหนือแกน x เสมอ แต่เมื่อ x เป็นลบกราฟจะลู่เข้าแกน x ดังนั้นแกน x จึงเป็นเส้นกำกับแนวนอน (horizontal asymptote) เส้นหนึ่งของกราฟนี้ ความชันของกราฟแต่ละจุดมีค่าเท่ากับพิกัด y ของจุดนั้น ฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กำลังคือลอการิทึมธรรมชาติ ln(x) ด้วยเหตุนี้ตำราบางเล่มจึงอ้างถึงฟังก์ชันเลขชี้กำลังว่าเป็น แอนติลอการิทึม (antilogarithm) [3] ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง หรือ ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล (English: exponential function) หมายถึงฟังก์ชัน ex เมื่อ e คือจำนวนที่ทำให้ฟังก์ชัน ex เท่ากับอนุพันธ์ของมันเอง (ซึ่ง e มีค่าประมาณ 2.718281828) [1][2] ฟังก์ชันเลขชี้กำลังถูกใช้เพื่อจำลองความสัมพันธ์ เมื่อการเปลี่ยนแปลงคงตัวในตัวแปรอิสระ ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงตามสัดส่วนเดียวกันในตัวแปรตาม (เช่นการเพิ่มขึ้นหรือลดลงของอัตราร้อยละ) ฟังก์ชันนี้มักเขียนเป็น exp(x) โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อตัวแปรอิสระเขียนเป็นตัวยกไม่ได้ Immiserizing growth
Immiserizing growth
เศรษฐกิจที่เจริญเติบโตจะส่งผลในทางที่เลวร้าย กว่าก่อนเกิดการเจริญเติบโต โดยเฉพาะอย่างยิ่ง
ถ้าการเจริญเป็นการส่งออกเพียงอย่างเดียว จะเป็นหนทางที่นำไปสู่ ความตกต่ำในอัตราการค้าของประเทศที่ส่งออก
ในบางโอกาสที่พอเหมาะพอเจาะ ซึ่งดีที่มันจะเกิดขึ้นไม่บ่อยนัก
การตกต่ำของอัตราการค้า อาจจะใหญ่ยิ่งกว่าผลได้จากการค้าเสียด้วยซ้ำ สถานการณ์แบบนี้ จะยิ่งทำให้ประเทศแย่ลงกว่าก่อนที่จะมีการเติบโต
ผลลัพธ์นี้เกิดขึ้นกับประเทศที่กำลังเจริญเติบโต ซึ่งความสามารถต่างๆ ขึ้นอยู่กับอิทธิพลราคาของโลก
Harry G. Johnson, ได้ทำความเข้าใจกับเงื่อนไขนี้ และผลลัพธ์เกี่ยวกับเรื่องนี้ในปี 1995 พบว่า มีความสัมพันธ์กันอย่างลึกซึ้งที่กระทบถึงกันอย่างดีระหว่าง
immeserizing growth กับ export of primary goods โดยเฉพาะอย่างยิ่งในประเทศกำลังพัฒนา การยกกำลัง
เนื่องจากการยกกำลังของจำนวนธรรมชาติมีเหตุมาจากการคูณซ้ำ ๆ จึงมีความเป็นไปได้ที่จะนิยามการดำเนินการที่มีเหตุมาจากการยกกำลังซ้ำ ๆ เช่นเดียวกัน การดำเนินการนี้บางครั้งเรียกว่า เทเทรชัน (tetration) และเทเทรชันซ้ำ ๆ ก็สามารถนำไปสู่การดำเนินการอีกอย่างหนึ่งเช่นกัน เป็นเช่นนี้ต่อไปเรื่อย ๆ ลำดับของการดำเนินการเหล่านี้ได้ถูกแสดงไว้ด้วยฟังก์ชันอัคเคอร์มันน์ (Ackermann function) และสัญกรณ์ลูกศรของคนูธ (Knuth's up-arrow notation) และเนื่องด้วยการยกกำลังมีอัตราเพิ่มขึ้นมากกว่าการคูณ การคูณก็มีอัตราเพิ่มขึ้นมากกว่าการบวก ดังนั้นเทเทรชันก็มีอัตราเพิ่มขึ้นมากกว่าการยกกำลัง ตัวอย่างเช่น เมื่อกำหนดค่า (3, 3) ให้กับฟังก์ชันการบวก การคูณ การยกกำลัง และเทเทรชัน จะได้ผลลัพธ์ออกมาเป็น 6, 9, 27 และ 7,625,597,484,987 ตามลำดับ ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ในบางกรณีคำว่า ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ก็มีใช้ในความหมายทั่วไปยิ่งขึ้น สำหรับฟังก์ชันต่าง ๆ ที่อยู่ในรูปแบบ cbx เมื่อ b คือฐานที่เป็นจำนวนจริงบวก ไม่จำเป็นต้องเป็น e ดูเพิ่มที่การเติบโตแบบเลขชี้กำลังสำหรับความหมายนี้ จำนวนจุดลอยตัว
การตระหนักถึงการสูญเสียเลขนัยสำคัญที่สามารถเกิดขึ้นก็มีประโยชน์ ตัวอย่างเช่น ถ้าเราบวกจำนวนขนาดใหญ่มากกับจำนวนขนาดเล็กมากเมื่อเปรียบเทียบกับผลบวก จะทำให้เกิดการสูญเสียเลขนัยสำคัญ การบวกโดยทั่วไปจะเป็นเหมือนเช่นนี้ การวิเคราะห์อภิมาน
การแจกแจงของขนาดผล (distribution of effect sizes) สามารถเห็นได้ด้วยการวาด funnel plot ซึ่งเป็นแผนภาพกระจายของขนาดตัวอย่าง (sample size) และขนาดผล (effect size) คือจริง ๆ แล้ว ในขนาดผลบางอย่าง ตัวอย่างยิ่งมีน้อยเท่าใด ความน่าจะเป็นก็จะสูงขึ้นเท่านั้นในการพบขนาดผลนั้น ในขณะเดียวกัน ขนาดผลยิ่งสูงขึ้นเท่าไร ความน่าจะเป็นที่งานที่มีตัวอย่างมากจะแสดงผลที่ระดับนั้นโดยสุ่มก็เป็นไปได้น้อยลงเท่านั้น ถ้ามีงานที่แสดงผลเปล่าที่ไม่ได้พิมพ์เป็นจำนวนมาก งานที่แสดงผลบวกที่เหลือจะทำให้เกิด funnel plot ที่ขนาดผลจะมีลักษณะเป็นสัดส่วนผกผันกับขนาดตัวอย่าง กล่าวโดยอีกนัยก็คือ ขนาดผลยิ่งสูงขึ้นเท่าไร ขนาดตัวอย่างก็น้อยลงเท่านั้น ดังนั้นส่วนหนึ่งของผลที่แสดงนัยสำคัญนั้น จะเป็นค่าที่เกิดขึ้นโดยสุ่มและไม่มีความสมดุลใน plot เพราะงานวิจัยแสดงผลลบไม่ได้รับการพิมพ์ โดยเปรียบเทียบกัน ถ้างานวิจัยโดยมาก (ทั้งผลบวกผลลบผลเปล่า) ได้รับการพิมพ์ ขนาดผลที่แสดงจะไม่มีอิทธิพลจากขนาดตัวอย่าง และ funnel plot จะออกมาสมดุล ดังนั้น ถ้าไม่มีความเอนเอียงในการตีพิมพ์ ก็จะไม่มีความสัมพันธ์กันระหว่างขนาดตัวอย่างและขนาดผล[16] ดังนั้น ความสัมพันธ์เชิงลบระหว่างขนาดตัวอย่างและขนาดผลจึงบอกเป็นนัยว่า งานศึกษาที่พบนัยสำคัญในผล มีการตีพิมพ์มากกว่า มีวิธีการหลายอย่างที่สามารถใช้แก้ปัญหาความเอนเอียงในการตีพิมพ์ เช่นการตัดข้อมูลออกแต่จะต้องเดาว่า ควรจะตัดออกที่จุดไหน ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ex อาจถูกนิยามให้เป็นคำตอบ y ของสมการนี้ ซึ่งเป็นรูปแบบที่พบได้น้อยกว่า ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
การยกกำลังเชิงซ้อน ab สามารถนิยามได้จากการแปลง a เป็นพิกัดเชิงขั้วและการใช้เอกลักษณ์ (eln(a))b = ab นั่นคือ การยกกำลัง
คำตอบของสมการ "e" = 1 คือพหุคูณจำนวนเต็มของ 2π"i"
ในกรณีทั่วไป ถ้ากำหนดให้ e = "a" ดังนั้นคำตอบของสมการ "e" = "a" หาได้โดยการบวก "b" เข้ากับพหุคูณจำนวนเต็มของ 2π"i"
ดังนั้นฟังก์ชันเลขชี้กำลังเชิงซ้อนเป็นฟังก์ชันเป็นคาบ (periodic function) ซึ่งมีคาบเท่ากับ 2π"i" ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
e a + b i = e a ( cos ⁡ b + i sin ⁡ b ) {\displaystyle e^{a+bi}=e^{a}(\cos b+i\sin b)\,} ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
d d x a x = a x ln ⁡ a {\displaystyle {d \over dx}a^{x}=a^{x}\ln a} การยกกำลัง
โดยปกติเลขชี้กำลังจะแสดงเป็นตัวยกอยู่ด้านขวาของฐาน จำนวน "a" อ่านว่า "a ยกกำลัง n" หรือเพียงแค่ "a กำลัง n" ในภาษาอังกฤษอาจเรียกการยกกำลังบางตัวต่างออกไปเช่น "a" จะเรียกว่า square และ "a" เรียกว่า cube เป็นต้น เมื่อตัวยกไม่สามารถใช้ได้เช่นในข้อความแอสกี ก็มีรูปแบบการเขียนอย่างอื่นที่ใช้กันอาทิ a^n และ a**n เป็นต้น การก้าวหน้าเลขคณิต
ในทางคณิตศาสตร์ การก้าวหน้าเลขคณิต () หรือ ลำดับเลขคณิต () คือลำดับของจำนวนซึ่งมีผลต่างของสมาชิกสองตัวที่อยู่ติดกันในลำดับเป็นค่าคงตัว ตัวอย่างเช่น ลำดับ 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... เป็นการก้าวหน้าเลขคณิตที่มีผลต่างร่วมเท่ากับ 2 ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
นิยามอีกตัวอย่างหนึ่งเป็นการขยายแนวคิดของฟังก์ชันเลขชี้กำลังสำหรับจำนวนจริง ขั้นแรกระบุถึงสมบัติที่ต้องการ e x + i y = e x e i y {\displaystyle e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}} ส่วนแรก ex จะใช้ฟังก์ชันเลขชี้กำลังสำหรับจำนวนจริงตามปกติ ส่วนหลังใช้สูตรของออยเลอร์นิยาม e i y = cos ⁡ ( y ) + i sin ⁡ ( y ) {\displaystyle e^{iy}=\cos(y)+i\sin(y)} ดังนั้นจึงจำเป็นต้องใช้การนิยามที่เกี่ยวข้องกับจำนวนจริงอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ [7] ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
( e z ) w ≠ e ( z w ) {\displaystyle (e^{z})^{w}\neq e^{\left(zw\right)}} ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}} ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
d d x e f ( x ) = f ′ ( x ) e f ( x ) {\displaystyle {d \over dx}e^{f(x)}=f'(x)e^{f(x)}} ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
exp ⁡ ( x ) = lim n → ∞ ( 1 + x n ) n {\displaystyle \exp(x)=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}