ทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณเป็นสาขาหนึ่งของอะไร?
ทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ
ทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ (English: Computational Complexity Theory) เป็นสาขาหนึ่งของทฤษฎีการคำนวณ ที่มุ่งเน้นไปในการวิเคราะห์เวลาและเนื้อที่สำหรับการแก้ปัญหาหนึ่ง ๆ โดยปกติแล้วคำว่า "เวลา" ที่เราพูดถึงนั้น จะเป็นการนับจำนวนขั้นตอนที่ใช้ในการแก้ปัญหา ส่วนในเรื่องของ "เนื้อที่" เราจะพิจารณาเนื้อที่ ๆ ใช้ในการทำงานเท่านั้น (ไม่นับเนื้อที่ ๆ ใช้ในการเก็บข้อมูลป้อนเข้า). ในบางกรณีเราอาจจะสนใจการวิเคราะห์ปริมาณอื่น ๆ ที่นอกเหนือไปจากพื้นที่กับเวลา ยกตัวอย่างเช่น ในการประมวลผลแบบขนาน เราอาจจะวิเคราะห์ว่าต้องใช้หน่วยประมวลผลกี่ตัวในการแก้ปัญหาที่กำหนด. ทฤษฎีความซับซ้อนต่างจาก ทฤษฎีการคำนวณได้ ที่จะเน้นไปในการวิเคราะห์ว่าปัญหาสามารถแก้ได้หรือไม่ โดยไม่สนใจทรัพยากรที่ใช้ในการแก้ปัญหา
การพิสูจน์ทฤษฎีบทด้วยคอมพิวเตอร์
แนวคิดของวิธีการนี้ คือการให้คอมพิวเตอร์รับหน้าที่ทำการคำนวณอันยืดยาว โดยใช้เทคนิคเลขคณิตเชิงช่วงในการควบคุม ไม่ให้มีความผิดพลาดมากเกินไป นั่นคือ เราสามารถมองการคำนวณที่ซับซ้อน เป็นลำดับของการคำนวณพื้นฐาน (เช่น +, -, *, /) ผลที่ได้จากการคำนวณพื้นฐานแต่ละขั้นนี้ เป็นผลโดยประมาณเนื่องจากคอมพิวเตอร์มีความแม่นยำจำกัด อย่างไรก็ตาม เราสามารถสร้างช่วงของคำตอบที่ถูกต้องได้จากผลโดยประมาณนี้ จากนั้นเราสามารถดำเนินการขั้นตอนต่อๆไป โดยการทำการคำนวณระหว่างช่วงของตัวเลขแต่ละตัวที่ได้มา ทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ
ทฤษฎีบทที่สำคัญอันหนึ่งในด้านทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณก็คือ ไม่ว่าปัญหาของเราจะยากขนาดไหน เราจะมีปัญหาที่ยากกว่าเสมอ หากเราพิจารณาเฉพาะปัญหาที่สามารถแก้ได้ในเวลาที่เป็นฟังก์ชันพหุนามกับขนาดของข้อมูลป้อนเข้า เราสามารถอธิบายในจุดนี้ได้ด้วยทฤษฎีลำดับชั้นของเวลา (time hierarchy theorem) ที่กล่าวไว้ว่า หากเราให้คอมพิวเตอร์ของเราทำงานด้วยเวลาที่มากขึ้น ปัญหาที่เราสามารถแก้ได้ก็จะเพิ่มขึ้น (นั่นก็คือ มีปัญหาที่แก้ไม่ได้ถ้าไม่มีการเพิ่มเวลา) ทฤษฎีลำดับชั้นของเนื้อที่ (space hierarchy theorem) ก็จะกล่าวในเชิงคล้ายกัน เพียงแต่มุ่งความสนใจในเรื่องของเนื้อที่ที่อนุญาตให้มีการใช้งานได้ เอ็นพี (ความซับซ้อน)
เราจะมาดูตัวอย่างของปัญหาปัญหาหนึ่งที่มีความก้าวหน้าอย่างสม่ำเสมอในเชิงของการหาอัลกอริธึมที่มีประสิทธิภาพสำหรับปัญหานั้น ปัญหานี้ก็คือปัญหา "จำนวนเฉพาะ (PRIME) " ซึ่งปัญหานี้ก็คือ จะเห็นว่าการจัดปัญหานี้เข้าไปใน โค-เอ็นพี ค่อนข้างจะง่ายและชัดเจน แต่หลังจากนั้นนักวิจัยต้องใช้ความพยายามอย่างมากในการจัดปัญหานี้เข้าไปใน เอ็นพี อาร์พี และ พี ตามลำดับ ทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ
หลายครั้งเราจะกล่าวถึงความซับซ้อนด้านเวลาว่าเป็น "เวลาที่ใช้ในการแก้ปัญหา" หรือ "เวลาที่ใช้ในการทำงาน" ทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ
หมวดหมู่:ทฤษฎีการคำนวณ ปัญหาการปกคลุมเซต
ปัญหาการปกคลุมเซต () เป็นปัญหาในทฤษฎีความซับซ้อน วิทยาการคอมพิวเตอร์ และคณิตศาสตร์เชิงการจัด และได้รับการพิสูจน์ว่าเป็นปัญหาเอ็นพีบริบูรณ์ในพ.ศ. 2515 ทฤษฎีจำนวน
คำว่า "เลขคณิต" (arithmetic) มักถูกใช้เพื่ออ้างถึงทฤษฎีจำนวน นี่เป็นการเรียกในอดีต ซึ่งในปัจจุบันไม่ได้รับความนิยมเช่นเคย ทฤษฎีจำนวนเคยถูกเรียกว่า "เลขคณิตชั้นสูง" ซึ่งเลิกใช้ไปแล้ว อย่างไรก็ตามคำว่า "เลขคณิต" ยังปรากฏในสาขาทางคณิตศาสตร์อยู่ (เช่น ฟังก์ชันเลขคณิต เลขคณิตของเส้นโค้งวงรี หรือ ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต) ไม่ควรจะสับสนระหว่างคำว่า "เลขคณิต" นี้ กับเลขคณิตมูลฐาน (elementary arithmetic) หรือสาขาของตรรกศาสตร์ที่ศึกษาเลขคณิตเปียโนในรูปของระบบรูปนัย เมทริกซ์ (คณิตศาสตร์)
เราสามารถใช้เมทริกซ์แทนระบบสมการเชิงเส้น การแปลงเชิงเส้น และใช้เก็บข้อมูลที่ขึ้นกับตัวแปรต้นสองตัว เราสามารถบวก คูณ และแยกเมทริกซ์ออกเป็นผลคูณของเมทริกซ์ได้หลายรูปแบบ เมทริกซ์เป็นแนวความคิดที่มีความสำคัญยิ่งของพีชคณิตเชิงเส้น โดยทฤษฎีเมทริกซ์เป็นสาขาหนึ่งของพีชคณิตเชิงเส้นที่เน้นการศึกษาเมทริกซ์ ตรรกศาสตร์คลุมเครือ
ตัวอย่างของการใช้งานที่ซับซ้อนขึ้น ก็คือ การใช้งานตรรกศาสตร์คลุมเครือใน การแก้ความผิดพลาด (error correction) ประสิทธิภาพสูง เพื่อเพิ่มประสิทธิภาพของการรับข้อมูลผ่านช่องสัญญาณแบนด์วิดท์จำกัด ที่ข้อมูลถูกรบกวนด้วยสัญญาณรบกวน โดยการใช้รหัสเทอร์โบ (en:turbo code) ส่วนต้นของภาคถอดรหัส จะวัดค่าความควรจะเป็น ของค่าบิตในสายบิตที่ส่งมากจากภาคส่ง (ว่าควรจะเป็น 0 หรือ 1) ค่าความควรจะเป็นอาจแบ่งเป็น 256 ระดับ ระหว่างระดับสูงสุดหมายถึง "ค่าควรจะเป็น 1 แน่นอน" และต่ำสุดหมายถึง "ค่าควรจะเป็น 0 แน่นอน" ตัวถอดรหัสสองตัวอาจวิเคราะห์ข้อมูลที่รับมาพร้อมกัน ได้เป็นค่าความควรจะเป็นที่ต่างกัน ตัวถอดรหัสแต่ละตัวสามารถใช้ค่าความควรจะเป็นที่ได้จากตัวถอดรหัสอื่นเข้าช่วยในการตีความ จนได้ข้อสรุปค่าที่ควรจะเป็นมากที่สุด รากที่ n
รากต่าง ๆ มีความสำคัญโดยเฉพาะกับทฤษฎีของอนุกรมอนันต์ ซึ่งการทดสอบโดยรากเป็นตัวพิจารณารัศมีของการลู่เข้าของอนุกรมกำลัง รากที่ "n" อาจสามารถนิยามสำหรับจำนวนเชิงซ้อนและรากเชิงซ้อนของ 1 (รากปฐมฐาน) ซึ่งมีบทบาทสำคัญในคณิตศาสตร์ชั้นสูง ทฤษฎีกาลัวจำนวนมากที่เกี่ยวข้องกับการพิจารณาว่าจำนวนเชิงพีชคณิตสามารถเขียนแทนในรูปของกรณฑ์ได้ นำไปสู่ทฤษฎีบทอาเบล-รัฟฟินีที่ว่าพหุนามดีกรีห้าขึ้นไปโดยทั่วไปไม่สามารถหาคำตอบได้โดยใช้รากเพียงอย่างเดียว ฟังก์ชันต่อเนื่อง
ในคณิตศาสตร์แขนงต่างๆ นั้นแนวคิดของความต่อเนื่องถูกดัดแปลงให้มีความเหมาะสมกับคณิตศาสตร์แขนงนั้นๆ การดัดแปลงที่พบได้บ่อยที่สุดมีอยู่ในวิชาทอพอโลยี ซึ่งท่านสามารถหาข้อมูลเพิ่งเติมได้ในบทความเรื่อง ความต่อเนื่อง (ทอพอโลยี) อนึ่ง ในทฤษฎีลำดับโดยเฉพาะในทฤษฏีโดเมน นิยามของความต่อเนื่องที่ใช้คือความต่อเนื่องของสก็อตซึ่งเป็นนิยามที่สร้างขึ้นจากความต่อเนื่องที่ถูกอธิบายในบทความนี้อีกทีหนึ่ง กำหนดการพลวัต
ในคณิตศาสตร์ วิทยาการคอมพิวเตอร์ และเศรษฐศาสตร์ กำหนดการพลวัต () คือกระบวนการในการแก้ไขปัญหาที่ซับซ้อนโดยการแบ่งปัญหาให้เป็นปัญหาย่อยที่สามารถแก้ได้ง่ายกว่า คุณสมบัติพื้นฐานของปัญหาที่จะใช้กำหนดการพลวัตได้คือจะต้องมีปัญหาย่อยที่ทับซ้อนกัน (overlapping subproblem) และโครงสร้างย่อยที่เหมาะสมที่สุด (optimal substructure) ปัญหาที่ใช้กำหนดการพลวัตในการแก้ปัญหาจะใช้เวลาแก้รวดเร็วกว่าการแก้ปัญหาโดยตรงเป็นอย่างมาก ทฤษฎีการคำนวณ
นอกจากโมเดลในการคำนวณทั่วไปแล้ว ยังมีรูปแบบในการคำนวณอื่นๆ ที่ง่ายกว่านั้น เช่น โมเดลของนิพจน์ปรกติ ที่เป็นวิธีที่ใช้กำหนดรูปแบบของสตริงในยูนิกซ์ และในบางภาษาคอมพิวเตอร์ เช่น ภาษาเพิร์ล โดยมีโมเดล เช่น เครื่องจักรสถานะจำกัดที่มีความสามารถเทียบเท่ากัน โมเดลที่มีความสามารถกว่าโมเดลนิพจน์ regular เช่น โมเดลที่อธิบายการคำนวณผ่านทางไวยากรณ์ที่ไม่ขึ้นกับสภาพรอบข้าง () ใช้สำหรับระบุไวยากรณ์ของภาษาโปรแกรม โดยที่มีเครื่องจักรกดลง () เป็นอีกรูปแบบที่เทียบเท่ากัน ฟังก์ชันเวียนบังเกิดพื้นฐานก็เป็นโมเดลย่อยของฟังก์ชันเวียนบังเกิด เศรษฐศาสตร์จุลภาค
เศรษฐศาสตร์จุลภาคประยุกต์ () เป็นการศึกษาที่มีขอบเขตซึ่งรวมไปถึงการศึกษาที่เจาะจงเฉพาะด้านด้วย สาขาที่เกี่ยวกับทางด้านประยุกต์ส่วนมากมักจะใช้เรื่องเกี่ยวกับ ทฤษฎีราคา (Price Theory), อุปสงค์ และ อุปทาน (Demand & Supply), การจัดการอย่างเป็นระบบในด้านอุตสาหกรรม (Industrial Organization) และ การควบคุม (Regulation) หัวข้อที่จะสนใจศึกษา อย่างเช่น การเข้าและการออกคนงานของบริษัท, นวัตกรรมและสิ่งประดิษฐ์, บทบาทของเครื่องหมายการค้า, กฎหมาย และ เศรษฐศาสตร์ เพียงเล็กน้อยหรือมีน้อยมาก เมื่อเทียบกับสาขาทางด้านเศรษฐศาสตร์ ซึ่งหลักการเลือกใช้ เศรษฐศาสตร์จุลภาคประยุกต์นั้น จะขึ้นอยู่กับ enforcement of competing, กฎหมาย, ระบบการปกครอง และ their relative efficiencies ยกตัวอย่างเช่น จำนวนเชิงซ้อน
อย่างที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น formula_10 เป็นปริภูมิเวกเตอร์สองมิติบน formula_104 เราได้ว่าการแปลงเชิงเส้นบน formula_105 (formula_104-linear map) ทุกตัวจะสามารถเขียนได้ในรูป
เมื่อ formula_13 และ formula_14 เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ เราได้ว่าฟังก์ชัน formula_110 เป็นการหมุนและการยืดเวกเตอร์ ส่วนฟังก์ชัน formula_111 นั้นประกอบด้วยการหมุน การพลิก และการยืดเวกเตอร์ในฟังก์ชันเดียว สังเกตว่า formula_112 เท่านั้นที่เป็นการแปลงเชิงเส้นบน formula_10 และเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก เราสามารถหาอนุพันธ์ของ formula_114 ได้ในเซตของจำนวนจริง แต่อนุพันธ์นั้นไม่สอดคล้องกับสมการโคชี-รีมันน์ ทฤษฎีกราฟ
ทฤษฎีกราฟ () เป็นหนึ่งในสาขาคณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์ ที่ศึกษาถึงคุณสมบัติต่าง ๆ ของกราฟ  คาร์ล ฟรีดริช เกาส์
วิทยานิพนธ์ปริญญาเอกของเกาส์เป็นอีกหนึ่งความก้าวหน้าอันยิ่งใหญ่ในวงการคณิตศาสตร์สมัยนั้น เมื่อเกาส์เป็นผู้แรกที่สามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต (fundamental theorem of algebra) ซึ่งกล่าวคร่าวๆ ว่าทุกสมการพหุนามอันดับใดๆ จะมีคำตอบอยู่ในรูปจำนวนเชิงซ้อนเสมอ ทฤษฎีบทนี้ช่วยให้วงการคณิตศาสตร์เข้าใจว่าจำนวนเชิงซ้อนมีบทบาทสำคัญมากเพียงใด และยังเป็นทฤษฎีบทที่นักคณิตศาสตร์เช่น ดาลองแบร์, ออยเลอร์, ลากรองช์ หรือ ลาปลาส ต่างได้เคยพยายามพิสูจน์แล้ว ยิ่งไปกว่านั้นในช่วงชีวิตของเกาส์ เขาได้ให้บทพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ถึง 4 รูปแบบที่ต่างกันโดยสิ้นเชิง ซึ่งทำให้เกิดความเข้าใจในคุณสมบัติของจำนวนเชิงซ้อนมากขึ้นเรื่อย ๆ นิเวศวิทยา
ความซับซ้อนมีการเข้าใจว่าเป็นความพยายามในคอมพิวเตอร์ขนาดใหญ่ที่จำเป็นในการปะติดปะต่อชิ้นส่วนปฏิสัมพันธ์มากมายเกินความจุของหน่วยความจำซ้ำของจิตใจมนุษย์ รูปแบบทั่วโลกของความหลากหลายทางชีวภาพมีความซับซ้อน ความซับซ้อนทางชีวภาพนี้เกิดขึ้นจากอิทธิพลซึ่งกันและกันในหมู่กระบวนการทางนิเวศวิทยาที่ใช้งานและสร้างอิทธิพลต่อรูปแบบในระดับที่แตกต่างกันที่เกลี่ยเข้าหากัน เช่นพื้นที่ในช่วงการเปลี่ยนแปลงหรือ ecotones ที่กระจายภูมิทัศน์ ความซับซ้อนเกิดจากอิทธิพลซึ่งกันและกันในหมู่ระดับขององค์กรทางชีวภาพเมื่อพลังงานและสสารถูกรวมเข้าเป็นหน่วยที่ใหญ่กว่าที่ซ้อนทับลงบนชิ้นส่วนขนาดเล็กกว่า "สิ่งที่เป็นส่วนรวมทั้งหมด () ในระดับหนึ่งจะกลายเป็นหลายๆชิ้นส่วนของอีกระดับหนึ่งที่สูงกว่า" รูปแบบขนาดเล็กไม่จำเป็นต้องอธิบายปรากฏการณ์ของขนาดที่ใหญ่กว่า เพียงแต่แสดงเอาไว้ในสำนวน (ประกาศเกียรติคุณโดยอริสโตเติล) 'ผลรวมใหญ่กว่าชิ้นส่วน' แคลคูลัส
แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ศึกษาวิธีการหาปริพันธ์ (อินทิกรัล, Integral) ของฟังก์ชัน ซึ่งอาจนิยามจากลิมิตของผลรวมของพจน์ (ซึ่งเรียกว่าลิมิตของผลรวมรีมันน์) แต่ละพจน์นั้นคือพื้นที่ที่เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าแต่ละแถบใต้กราฟของฟังก์ชัน ทำให้การอินทิเกรตเป็นวิธีที่ได้ผลวิธีหนึ่งในการหาพื้นที่ใต้กราฟ และพื้นที่ผิว และปริมาตรของแข็งเช่นทรงกลมและทรงกระบอก เอ็นพี (ความซับซ้อน)
เนื้อหาในส่วนนี้จะกล่าวถึงแนวคิดของบทพิสูจน์ว่าทำไมนิยามทั้งสองแบบนี้จึงสมมูลกันได้ การพิสูจน์แยกออกเป็นสองส่วนในส่วนแรกต้องพิสูจน์ว่าหากเซ็ต A ถูกจัดว่าเป็นเอ็นพีตามนิยามแบบแรกแล้ว A จะต้องเป็นเอ็นพีตามนิยามแบบที่สองด้วย และในส่วนที่สองเราต้องพิสูจน์ในกรณีกลับกัน การแบ่งกลุ่มข้อมูลแบบเคมีน
เมื่อกล่าวถึงความซับซ้อนเชิงคำนวณ (computational complexity) การหาคำตอบที่เหมาะสม ในการแบ่งข้อมูลแบบเคมีนสำหรับข้อมูลการสังเกต ใน "d" มิติ จะเป็น
ดังนั้น ประเภทของขั้นตอนวิธีแบบศึกษาสำนึก เช่น ขั้นตอนวิธีของ Lloyds จึงถูกใช้อย่างแพร่หลาย
เวลาที่ใช้ในการทำงานของขั้นตอนวิธีของ Lloyds จะอยู่ในรูป formula_7 โดยที่ค่า "n" เป็นจำนวนของเวกเตอร์ข้อมูล ใน "d" มิติ ค่า "k" เป็นจำนวนของคลัสเตอร์ และค่า "i" เป็นจำนวนของการวนซ้ำจนกระทั่งผลลัพธ์ลู่เข้าและไม่เปลี่ยนแปลง สำหรับข้อมูลที่มีโครงสร้างเป็นกลุ่มก้อน การวนซ้ำในจำนวนรอบน้อยๆก็มักจะเห็นการลู่เข้า และผลลัพธ์จะดีขึ้นเพียงเล็กน้อยเท่านั้นหลังจากการวนซ้ำสิบกว่าครั้ง ดังนั้นขั้นตอนวีธีของ Lloyds ในทางปฏิบัติจะระบุว่ามีความซับซ้อนแบบเชิงเส้น เศรษฐศาสตร์
เศรษฐศาสตร์ () เป็นวิชาทางสังคมศาสตร์ที่ศึกษาเกี่ยวกับการผลิต การกระจาย การบริโภคสินค้าและการให้บริการ ตามคำจำกัดความของนักเศรษฐศาสตร์และนักการเมือง เรย์มอนด์ บารร์ แล้ว "เศรษฐศาสตร์คือศาสตร์แห่งการจัดการทรัพยากรอันมีจำกัด เศรษฐศาสตร์พิจารณาถึงรูปแบบที่พฤติกรรมมนุษย์ได้เลือกในการบริหารทรัพยากรเหล่านี้ อีกทั้งวิเคราะห์และอธิบายวิถีที่บุคคลหรือบริษัททำการจัดสรรทรัพยากรอันจำกัดเพื่อตอบสนองความต้องการมากมายและไม่จำกัด"  พีชคณิตเชิงเส้น
แมทริกซ์ ถูกให้ความหมายไว้ไม่ชัดเจนนักในยุคก่อนหน้าที่จะมีการพัฒนา ทฤษฏีริง (ring theory) ในพีชคณิตนามธรรม (abstract algebra) และด้วยการเข้ามาของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ ก็ทำให้มีการเพิ่มเติมรายละเอียดของพีชคณิตเชิงเส้นอีกมาก ตัวอย่างเช่นในปี ค.ศ. 1914 ลุดวิค ซิลเบอร์สไตน์ Ludwik Silberstine ได้รวมเอา แมทริกซ์ ไว้เป็นหนึ่งใน List of important publications in physis หลังจากนั้นไม่นาน ในสาขาคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ก็ได้นำเอาการประยุกต์ของ Cramer's rule เข้ามาเป็นเครื่องมือในการแก้ปัญหา partial differential equations จนถือได้ว่าเป็นเรื่องปกติ และด้วยเหตุนี้เองจึงได้มีการบรรจุ วิชาพีชคณิตเชิงเส้น เข้าอยู่ในหลักสูตรมาตรฐานของมหาวิทยาลัยต่าง ๆ ถึงขนาดที่ เอ็ดวาร์ด โทมัส คอบสัน Edward Thomas Copson ได้เขียนเอาไว้ว่า ทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ
เช่นเดียวกันกับเรื่องของความยาก เซตบริบูรณ์ที่สำคัญที่สุดก็คือ เซตเอ็นพีบริบูรณ์ ปัญหาการตัดสินใจ
ปัญหาการตัดสินใจ () เป็นปัญหาในทฤษฎีการคำนวณได้และทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ ซึ่งพิจารณาค่าอินพุตและตอบเพียงว่า "ใช่" หรือ "ไม่ใช่" เท่านั้น เช่นปัญหาที่ถามว่าจำนวนเต็ม x เป็นจำนวนเฉพาะใช่หรือไม่ พีชคณิต
พีชคณิต (คิดค้นโดย มุฮัมมัด อิบน์ มูซา อัลคอวาริซมีย์) เป็นสาขาหนึ่งในสามสาขาหลักในทางคณิตศาสตร์ ร่วมกับเรขาคณิต และ การวิเคราะห์ (analysis) พีชคณิตเป็นการศึกษาเกี่ยวกับโครงสร้าง ความสัมพันธ์ และจำนวน พีชคณิตพื้นฐานจะเริ่มมีสอนในระดับประถมศึกษาและมัธยมศึกษา โดยศึกษาเกี่ยวกับการบวกลบคูณและหาร ยกกำลัง และการถอดราก พีชคณิตยังคงรวมไปถึงการศึกษาสัญลักษณ์ ตัวแปร และเซ็ต  เอ็นพี (ความซับซ้อน)
ในทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ กลุ่มปัญหา เอ็นพี (NP: Non-deterministic Polynomial time) สามารถนิยามได้สองวิธี ซึ่งเราสามารถพิสูจน์ได้ไม่ยากนักว่านิยามทั้งสองแบบนี้สมมูลกันคำว่า "ตรวจคำตอบ" ในที่นี้มีความหมายค่อนข้างจะคลุมเครือ ซึ่งรายละเอียดในส่วนนี้จะถูกอธิบายในไม่ช้า พี (ความซับซ้อน)
พี เป็นกลุ่มความซับซ้อนที่นักวิจัยเรียกว่า "ง่าย" แม้ว่าในความเป็นจริงแล้วปัญหาที่ใช้เวลาในการหาคำตอบ formula_1 ไม่น่าจะถือว่าง่ายก็ตาม  ทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ
ภายหลังจากที่สามารถระบุได้ว่า ปัญหาใดสามารถแก้ได้ และปัญหาใดที่แก้ไม่ได้ เรามักจะเกิดคำถามขึ้นอีกว่าในบรรดาปัญหาที่แก้ได้ ซึ่งเป็นกลุ่มของฟังก์ชันที่คำนวณได้นั้น มีความซับซ้อนอยู่ในระดับใด จุดนี้เป็นความสนใจหลักของ ทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ การเรียนรู้เชิงลึก
การเรียนรู้เชิงลึก () เป็นสาขาของการเรียนรู้ของเครื่อง พื้นฐานของการเรียนรู้เชิงลึกคือ อัลกอริทึมที่พยายามจะสร้างแบบจำลองเพื่อแทนความหมายของข้อมูลในระดับสูงโดยการสร้างสถาปัตยกรรมข้อมูลขึ้นมาที่ประกอบไปด้วยโครงสร้างย่อยๆหลายอัน และแต่ละอันนั้นได้มาจากการแปลงที่ไม่เป็นเชิงเส้น แคลคูลัส
พื้นฐานที่เคร่งครัดของแคลคูลัส มีฐานมาจาก แนวคิดของฟังก์ชัน จำนวน สมการเชิงอนุพันธ์ สมการและอสมการ ลำดับและอนุกรม ทฤษฎีบททวินาม เวกเตอร์ พิกัดเชิงขั้ว เมทริกซ์ อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์(mathematical induction) และ ลิมิต การศึกษาพื้นฐานของแคลคูลัสสมัยใหม่ รู้จักกันในชื่อ การวิเคราะห์เชิงจริง 
ซึ่งประกอบด้วย นิยามที่เคร่งครัด และบทพิสูจน์ของทฤษฎีของแคลคูลัส  เอ็นพี (ความซับซ้อน)
ผลงานที่ยิ่งใหญ่ที่สุดอย่างหนึ่งในวิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎีก็คือ "นิยามแบบใหม่ของเอ็นพี" โดยใช้ระบบการพิสูจน์ที่สามารถตรวจสอบเชิงสุ่มได้ โดยที่นิยามแบบใหม่บอกไว้ว่า เอ็นพีก็คือระบบที่มีคนตรวจสอบที่มีคุณสมบัติดังนี้และ คนตรวจสอบใช้การสุ่มไม่เกิน formula_19 บิตและจำนวนครั้งในการอ่านบทพิสูจน์ไม่เกินค่าคงที่ค่าหนึ่ง รายชื่อสมการในกลศาสตร์ดั้งเดิม
กลศาสตร์ดั้งเดิมเป็นหนึ่งในสาขาของฟิสิกส์ที่อธิบายถึงการเคลื่อนที่ของวัตถุขนาดใหญ่ ทฤษฎีของกลศาสตร์ดั้งเดิมเป็นสิ่งที่คนคุ้นเคยที่สุดในฟิสิกส์ทั้งหมด โดยแนวคิดจะครอบคลุมถึงมวล ความเร่ง และ แรง ซึ่งเป็นสิ่งที่ใช้เป็นปกติและเป็นที่รู้จัก สาขานี้ถูกขึ้นกับปริภูมิยูคลิดสามมิติด้วยแกนคงที่ เรียกว่ากรอบอ้างอิง โดยจุดตัดของแกนทั้งสามเรียกได้อีกชื่อหนึ่งว่าจุดกำเนิดของปริภนา ทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ
ปกติแล้ว ปัญหาการตัดสินใจมักจะเป็นที่สนใจเพราะว่า ปัญหาหลายปัญหามักจะสามารถลดรูปไปเป็นปัญหาในกลุ่มนี้ได้. ยกตัวอย่างเช่น ปัญหา HAS-FACTOR ที่ถามว่า สำหรับจำนวนเต็ม n {\displaystyle n} และ k {\displaystyle k} , จำนวน n {\displaystyle n} มีตัวประกอบเฉพาะที่มีค่าไม่เกิน k {\displaystyle k} หรือไม่? ในที่นี้เราจะแสดงให้เห็นว่า การแก้ปัญหา HAS-FACTOR จะนำไปสู่การแก้ปัญหา FACTORIZE ที่เราได้กล่าวถึงไปแล้ว โดยใช้ทรัพยากรไม่มากกว่ากันนัก สังเกตว่าหากเราสามารถแก้ปัญหา HAS-FACTOR ได้ เราสามารถใช้การค้นหาแบบทวิภาค (binary search) เพื่อหาค่าของ k {\displaystyle k} ที่น้อยที่สุดที่เป็นตัวประกอบของ n {\displaystyle n} และเมื่อเจอจำนวนนั้นแล้ว เราก็จะหารมันทิ้งไป ทำซ้ำไปเรื่อย ๆ จนกระทั่งไม่สามารถทำต่อได้ เราก็จะสามารถหาตัวประกอบเฉพาะทั้งหมดของ n {\displaystyle n} ออกมาได้ เรขาคณิต
เรขาคณิต ( ; กรีก: γεωμετρία ; geo = พื้นดิน/โลก, metria = วัด) เป็นสาขาความรู้ที่เกี่ยวข้องกับความสัมพันธ์เชิงตำแหน่ง เรขาคณิตเป็นหนึ่งในสองสาขาของคณิตศาสตร์ก่อนยุคใหม่, โดยอีกสาขานั้นคือสาขาทฤษฎีจำนวน ซึ่งศึกษาเกี่ยวกับจำนวน แคลคูลัส
แนวคิดแรกคือ แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ (Differential Calculus) เป็นทฤษฎีที่ว่าด้วยอัตราการเปลี่ยนแปลง และเกี่ยวข้องกับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น การหา ความเร็ว, ความเร่ง หรือความชันของเส้นโค้ง บนจุดที่กำหนดให้. ทฤษฎีของอนุพันธ์หลายส่วนได้แรงบันดาลใจจากปัญหาทางฟิสิกส์ ตรรกศาสตร์คลุมเครือ
ตรรกศาสตร์คลุมเครือ ถึงแม้ว่าจะได้รับการยอมรับค่อนข้างกว้างขวาง แต่ก็ยังถูกโต้แย้งจากบางกลุ่ม เช่น จากวิศวกรระบบควบคุม ในเรื่องของการอธิบายพฤติกรรมต่างๆ และ จากนักสถิติบางกลุ่ม ซึ่งถือมั่นว่าทฤษฎีความน่าจะเป็น เป็นวิธีทางคณิตศาสตร์ที่เคร่งครัดเพียงวิธีเดียว ในการจำลองความไม่แน่นอน (en:uncertainty) นอกจากนั้นแล้ว ก็ยังมีการวิเคราะห์วิจารณ์ว่า เซตวิภัชนัย นั้นไม่ได้เป็นซุปเปอร์เซตของ ทฤษฎีเซตสามัญ เนื่องจาก ฟังก์ชันภาวะสมาชิก นั้นกำหนดในรูปของ เซตแบบดั้งเดิม คณิตศาสตร์
คณิตศาสตร์ยังถูกจัดว่าเป็นศาสตร์สัมบูรณ์ โดยจำไม่เป็นต้องมีการอ้างถึงใด ๆ จากโลกภายนอก นักคณิตศาสตร์กำหนดและพิจารณาโครงสร้างบางประเภท สำหรับใช้ในคณิตศาสตร์เองโดยเฉพาะ, เนื่องจากโครงสร้างเหล่านี้ อาจทำให้สามารถอธิบายสาขาย่อย ๆ หลาย ๆ สาขาได้ในภาพรวม หรือเป็นประโยชน์ในการคำนวณพื้นฐาน เคมีการคำนวณ
เคมีการคำนวณ () เป็นสาขาหนึ่งของเคมีทฤษฎี (theoretical chemistry) มีความคาบเกี่ยวกันระหว่างวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ (computer science) วิชาเคมี (chemistry) วิชาฟิสิกส์ และวิชาคณิตศาสตร์วัตถุประสงค์หลักก็คือการใช้แนวคิดทางทฤษฎีที่พิสูจน์ได้ทางฟิสิกส์และเคมีมาออกแบบหรือสร้างระบบจำลองที่มีประสิทธิภาพ ยกตัวอย่างเช่น ระบบจำลองของแข็ง ระบบจำลองดีเอ็นเอ ระบบจำลองโปรตีน เป็น้ตน ซึ่งในการประมาณการ (approximation) ทางคณิตศาสตร์จะใช้โปรแกรมการคำนวณ (computer program) มาคำนวณ เนื่องจากมีความซับซ้อนและความยุ่งยากทางคณิตศาสตร์มากเกินกว่าที่มนุษย์จะกระทำได้ ซึ่งคอมพิวเตอร์สมรรถนะสูงนี้เองที่เป็นเครื่องมือที่ช่วยให้นักเคมีคำนวณลดระยะเวลาในการ simulation ลงอย่างมากอีกด้วย สำหรับสิ่งที่ต้องการจะศึกษาก็มีปลายรูปแบบแตกต่างกันไป ขึ้นกับระบบนั้น ๆ โดยส่วนมากจะใช้คำนวณหรือศึกษาคุณสมบัติของโมเลกุล (molecule) เช่น ภาษาศาสตร์
ทุกวันนี้ แขนงวิชาต่าง ๆ ของภาษาศาสตร์เชิงประยุกต์จะเกี่ยวข้องกับการประยุกต์ใช้กับคอมพิวเตอร์อย่างชัดเจน ในการสังเคราะห์เสียง () และการรู้จำเสียง () มีการนำเอาความรู้ด้านสัทศาสตร์และพยางค์ ( and ) มาใช้เพื่อสร้างส่วนติดต่อคอมพิวเตอร์ด้วยเสียง การประยุกต์ใช้งานภาษาศาสตร์เชิงคำนวณในการแปลภาษาด้วยเครื่อง () การแปลภาษาแบบเครื่องช่วย () และการประมวลผลภาษาธรรมชาตินั้น จัดเป็นแขนงวิชาที่เป็นประโยชน์อย่างมากของภาษาศาสตร์เชิงประยุกต์ ซึ่งเริ่มเข้ามามีบทบาทในไม่กี่ปีที่ผ่านมา ตามสมรรถนะการคำนวณของคอมพิวเตอร์ที่เพิ่มสูงขึ้น อิทธิพลของภาษาศาสตร์เชิงคำนวณได้ก่อให้เกิดผลกระทบอย่างมากต่อทฤษฎีของวากยสัมพันธ์และอรรถศาสตร์ เนื่องด้วยการออกแบบทฤษฎีทางวากยสัมพันธ์และอรรถศาสตร์บนคอมพิวเตอร์ จะจำกัดประสิทธิภาพของทฤษฎีเหล่านั้นด้วยโอเปอเรชั่นที่คำนวณได้ () และทำให้เกิดทฤษฎีพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ที่แม่นยำ (ข้อมูลเพิ่มเติมในหัวข้อ ทฤษฎีการคำนวณได้) คณิตศาสตร์ประกันภัย
"คณิตศาสตร์ประกันภัย (actuarial science)" เป็นสาขาวิชาที่เกี่ยวเนื่องกับวิชาต่างๆหลายด้าน เช่น คณิตศาสตร์ (mathematics), ทฤษฎีความน่าจะเป็น (probability), สถิติศาสตร์ (statistics), การเงิน (finance), เศรษฐศาสตร์ (economics), เศรษฐศาสตร์การเงิน (financial economics), และการโปรแกรมคอมพิวเตอร์ (computer programming) เป็นต้น มหาวิทยาลัยในประเทศไทยมีเปิดหลักสูตรนี้น้อยมากเนื่องจากต้องศึกษาวิชาในหลายๆด้าน แต่ปัจจุบันสาขาวิชานี้กำลังเป็นที่นิยมและต้องการ ของตลาดทั้งในและต่างประเทศ สัจพจน์ของความน่าจะเป็น
นักคณิตศาสตร์หลายท่านมอง "ทฤษฎีความน่าจะเป็น" เป็นสาขาย่อยของทฤษฎีการวัด (measure theory). นั่นคือ มอง ความน่าจะเป็น เป็นปริมาณ (แบบนามธรรม) ชนิดหนึ่งที่สามารถวัดได้ในบริบทของทฤษฎีการวัด. ข้อดีของการใช้ทฤษฎีการวัดในการอธิบายทฤษฎีความน่าจะเป็น คือ เรามีทฤษฎีการวัดทั้งในเซตจำกัดและเซตอนันต์. ดังนั้นนักคณิตศาสตร์จึงสามารถขยายทฤษฎีความน่าจะเป็นให้กว้างขึ้น ครอบคลุมไปถึงกรณีที่โดเมนของฟังก์ชันความน่าจะเป็นเป็นเซตอนันต์ได้ทันที โดยอ้างอิงจากทฤษฎีบทที่มีอยู่แล้วในทฤษฎีการวัด. Representativeness heuristic
งานวิจัยปี ค.ศ. 1993 แสดงหลักฐานว่า ฮิวริสติกนี้อาจเป็นเหตุของเหตุผลวิบัติโดยประพจน์เลือก[31] คือ นักวิจัยพบว่า ผู้ร่วมการทดลองประเมินว่า คนที่มีความเป็นตัวแทนของผู้มีสถิติศาสตร์เป็นวิชาเอก (เช่น ฉลาดมาก เข้าการแข่งขันคิดเลข) ระดับสูง มีโอกาสที่จะมีสถิติศาสตร์เป็นวิชาเอกมากกว่ามีสังคมศาสตร์เป็นวิชาเอก (ซึ่งรวมสถิติศาสตร์เข้าไว้ด้วย) แต่จะไม่คิดว่า คนนี้มีโอกาสที่จะมีภาษาฮีบรูเป็นวิชาเอก สูงกว่ามีมนุษย์ศาสตร์เป็นวิชาเอก (ซึ่งรวมภาษาฮีบรูไว้ด้วย) ดังนั้น เมื่อบุคคลเป้าหมายมีความเป็นตัวแทนในระดับสูงกับประเภทนั้น ๆ เท่านั้น ที่ประเภทนั้นจะรับการประเมินว่า มีความน่าจะเป็นสูงกว่าประเภทใหญ่ที่รวมเอาประเภทนั้นเข้าไว้ด้วย การประเมินที่ผิดผลาดเหล่านี้ ดำรงอยู่แม้ว่าผู้ร่วมการทดลองจะเสียเงินจริง ๆ เมื่อทายค่าความน่าจะเป็นผิดพลาด คณิตตรรกศาสตร์
คณิตตรรกศาสตร์ ..ฝ() คือสาขาหนึ่งในคณิตศาสตร์ที่ศึกษาระบบรูปนัย และคุณลักษณะที่ระบบดังลฝฝกล่าวจะสามารถใช้เพื่อแสดงมโนทัศน์ของบทพิสูจน์ และการคำนวณในส่วนที่เป็นรากฐานของคณิตศาสตร์ นิเวศวิทยา
"ความซับซ้อนในระบบนิเวศเป็นอย่างน้อยหกชนิดที่แตกต่าง: พื้นที่ ชั่วคราว โครงสร้าง กระบวนการ พฤติกรรม และรูปทรงเรขาคณิต" จากหลักการเหล่านี้ นักนิเวศวิทยาได้ระบุปรากฏการณ์การอุบัติ () และการจัดระเบียบตัวเอง () ที่ทำงานในระดับที่แตกต่างกันทางด้านสิ่งแวดล้อมของอิทธิพล ช่วงตั้งแต่ระดับโมเลกุลจนถึงระดับโลก และสิ่งเหล่านี้จำเป็นต้องมีคำอธิบายที่แตกต่างกันในแต่ละระดับบูรณาการ ความซับซ้อนของระบบนิเวศจะเกี่ยวข้องกับความยืดหยุ่นแบบไดนามิกของระบบนิเวศที่เปลี่ยนไปยังสภาวะนิ่งที่ขยับหลายชั้น () ที่กำกับโดยความผันผวนแบบสุ่มของประวัติศาสตร์ การศึกษาระบบนิเวศระยะยาวได้ให้บันทึกการติดตามที่สำคัญที่จะเข้าใจได้ดีขึ้นในความซับซ้อนและความยืดหยุ่นของระบบนิเวศตลอดขนาดพื้นที่ชั่วคราวที่ยาวกว่าและกว้างกว่า การศึกษาเหล่านี้จะถูกจัดการโดย'เครือข่ายนิเวศวิทยาระยะยาวนานาชาติ' (LTER) การทดลองที่ยาวที่สุดในการดำรงอยู่เป็น Park Grass Experiment ซึ่งเริ่มต้นในปี 1856 อีกตัวอย่างหนึ่งคือ'การศึกษาห้วยฮับบาร์ด'ที่ได้ดำเนินการมาตั้งแต่ปี 1960 ทฤษฎีสนามควอนตัม
ทฤษฎีสนามควอนตัม ( หรือ QFT) คือทฤษฎีควอนตัมของสนามพลังงาน หรือ การใช้ทฤษฎีควอนตัมมาใช้กับระบบที่มีอนุภาคจำนวนมาก เพื่อใช้อธิบายปรากฏการณ์ทาง อิเล็กโตรไดนามิกส์ (โดยการควอนตัมสนามแม่เหล็กไฟฟ้า) เรียกว่าพลศาสตร์ไฟฟ้าควอนตัม (Quantum Electrodynamics) ต่อมาได้ขยายกรอบทางทฤษฎีเพื่ออธิบายสนามของแรงนิวเคลียร์แบบอ่อนร่วมด้วย เรียกว่าทฤษฎี อิเล็กโตร-วีก (Electro-Weak Theory) และเป็นพื้นฐานสำหรับการอธิบายแรงนิวเคลียร์แบบเข้มที่เรียกว่า ควอนตัมโครโมไดนามิกส์ (Quantum Chromodynamics) ทฤษฎีสนามควอนตัม (QFT) เป็นกรอบทฤษฎีสำหรับการสร้างแบบจำลองทางกลศาสตร์ควอนตั้มของสนามและระบบหลาย ๆ อย่างของวัตถุ (อยู่ในบริบทของสสารควบแน่น) ระบบทั้งสองซึ่งเป็นตัวแทนของระบบแบบคลาสสิกโดยเป็นจำนวนอนันต์ขององศาอิสระ การคำนวณ
การคำนวณ หรือ การคณนา สามารถนิยามได้ว่าเป็นการหาคำตอบของปัญหาจากข้อมูลป้อนเข้าโดยการใช้ขั้นตอนวิธี ศาสตร์ที่ศึกษาเกี่ยวกับเรื่องนี้คือ "ทฤษฎีการคำนวณ" ซึ่งเป็นสาขาย่อยของวิทยาการคอมพิวเตอร์และคณิตศาสตร์ เป็นเวลากว่าพันปีที่การคำนวณนั้นกระทำด้วยปากกาและกระดาษ หรือชอล์กและกระดานชนวน หรือด้วยการใช้สมอง โดยบางครั้งมีการใช้ตารางประกอบด้วย ทฤษฎีความผูกพัน
มีนักวิชาการที่ตั้งข้อสงสัยกับไอเดียว่า การพัฒนาอนุกรมวิธานของหมวดหมู่ที่สะท้อนความแตกต่างกันของความผูกพันสามารถเป็นไปได้จริง ๆ
เพราะว่า งานที่ตรวจสอบข้อมูลจากเด็กอายุ 15 เดือน 1,139 คนแสดงว่า การแปรผันของรูปแบบความผูกพันเป็นแบบกระจายไปทั่วแทนที่จะเป็นกลุ่ม ๆ
ซึ่งตั้งคำถามสำคัญในเรื่องหมวดหมู่ของความผูกพันและกลไกทางกายภาพที่เป็นมูลฐานของพฤติกรรม
แต่ว่า นี่ไม่เป็นปัญหาต่อทฤษฎีโดยตรง เพราะว่าทฤษฎี "ไม่ได้บังคับให้มีหรือพยากรณ์รูปแบบความผูกพันที่รวมเป็นกลุ่ม ๆ" ปัญญาประดิษฐ์
การคำนวณเชิงอารมณ์ (affective computing) คือ การศึกษาและพัฒนาระบบและเครื่องมือที่สามารถรู้จำ แปรผล ประมวลผล และจำลองอารมณ์ความรู้สึกของมนุษย์ได้ เป็นสหสาขาวิชาที่เกี่ยวข้องกับวิทยาการคอมพิวเตอร์ จิตวิทยา และประชานศาสตร์ สาขานี้เริ่มต้นจากความต้องการทางปรัชญาที่อยากจะเข้าถึงอารมณ์ของมนุษย์ สาขาการคำนวณเชิงอารมณ์สมัยใหม่นี้เริ่มจากคำนิยามของ โรซาไลนด์ พิการ์ด นักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ที่ MIT ที่เริ่มใช้คำนี้ในผลงานวิจัยปี ค.ศ. 1995 เกี่ยวกับการคำนวณเชิงอารมณ์ แรงบันดาลใจของงานวิจัยสายนี้คือความต้องการที่จะจำลองความเข้าใจความรู้สึกของคนอื่นของมนุษย์ ต้องการมีเครื่องจักรที่สามารถแปลผลสถานะของอารมณ์ของมนุษย์และปรับเปลี่ยนพฤติกรรมให้ตอบสนองกับอารมณ์นั้น ๆ ของมนุษย์อย่างเหมาะสม แคลคูลัสเวกเตอร์
แคลคูลัสเวกเตอร์ เป็นแขนงหนึ่งของคณิตศาสตร์ ว่าด้วยการเปลี่ยนแปลงของของเวกเตอร์ในมิติที่สูงกว่าหรือเท่ากับสองมิติ เนื้อหาประกอบด้วยเทคนิคในการแก้ปัญหาและสูตรคำนวณที่เกี่ยวข้องต่าง ๆ ซึ่งมีประโยชน์ใช้งานมากในทางวิศวกรรมและฟิสิกส์ แคลคูลัสแลมบ์ดา
แคลคูลัสแลมบ์ดา (หรือ λ-calculus) เป็นระบบรูปนัยในคณิตตรรกศาสตร์ที่ใช้ในการคำนวณ พื้นฐานของระบบประกอบไปด้วยการสร้างฟังก์ชันและการเรียกใช้ฟังก์ชันโดยใช้การโยงของตัวแปรและการแทนที่ตัวแปร นักคณิตศาสตร์อลอนโซ เชิร์ชได้คิดค้นแคลคูลัสแลมบ์ดาขึ้นมาในช่วงปี 1930 เพื่อสำรวจหารากฐานของคณิตศาสตร์ แคลคูลัสแลมบ์ดาเป็นแบบจำลองสากลในการคำนวณเทียบเท่ากับเครื่องจักรทัวริง (ความเท่าเทียมกันของาองระบบทั้งสองรู้จักได้รับการพิสูจน์ในแนวคิดหลักของเชิร์ช–ทัวริงในปี 1937) คำว่า "แลมบ์ดา" ซึ่งเป็นอักขระกรีก (λ) ปรากฏในพจน์แลมบ์ดา (หรืออาจจะเรียกว่านิพจน์แลมบ์ดา) ซึ่งใช้ในการแสดงถึงการโยงตัวแปรในฟังก์ชัน วิศวกรรมคอมพิวเตอร์
วิทยาศาสตร์และวิศวกรรมทางการคำนวณเป็นสาขาวิชาที่ค่อนข้างใหม่ สอดคล้องกับศูนย์ Sloan Career Cornerstone, บุคคลที่ทำงานในพื้นที่นี้ "วิธีการคำนวณจะถูกนำไปใช้ในการกำหนดรูปแบบและการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนด้านวิศวกรรมและด้านฟิสิกข์และสังคมศาสตร์ . ตัวอย่าง รวมถึงการออกแบบอากาศยาน, การประมวลผลแบบพลาสม่าของคุณสมบัตินาโนเมตร บนเวเฟอร์เซมิคอนดักเตอร์, การออกแบบวงจร VLSI, ระบบตรวจจับเรดาร์, การขนส่งไอออนผ่านช่องทางชีวภาพและอื่น ๆ อีกมาก"[6] กลุ่มความซับซ้อน พี และ เอ็นพี
ปัญหาพีและเอ็นพีสามารถถามได้อีกแบบคือ "ถ้าเรามีปัญหาที่สามารถตรวจคำตอบ (ใช่/ ไม่ใช่) ได้อย่างรวดเร็ว เราจะสามารถหาคำตอบได้อย่างรวดเร็วหรือไม่?" ยกตัวอย่างเช่น ถ้าเราอยากตรวจสอบว่าจำนวนๆหนึ่งเป็นจำนวนประกอบหรือไม่ หากเรามีจำนวน 53308290611 อยู่ แล้วต้องการตรวจสอบ วิธีที่ทำได้วิธีหนึ่งก็คือทดลองจำนวนทุกจำนวนว่าหารจำนวนนี้ลงตัวหรือไม่ แต่วิธีนี้ใช้เวลาการทำงานเป็น exponential เมื่อเทียบกับขนาดของอินพุต (ขนาดของอินพุตในที่นี้ไม่ใช่ค่าของจำนวน แต่เป็นจำนวนของบิตที่ใช้ในการแทนค่าจำนวนนั้น ยกตัวอย่างเช่น จำนวน 128 มีขนาดของอินพุตเท่ากับ 8 เพราะว่า formula_1) เอ็นพี (ความซับซ้อน)
เอ็นพี เป็นคลาสของปัญหาที่ใหญ่มาก ประกอบด้วยปัญหาสำคัญมากมาย (รวมทั้งปัญหาทั้งหมดที่อยู่ในพีด้วย) ปัญหาบางอย่างในเอ็นพีค่อนข้างเป็นนามธรรมที่ดูเหมือนกับว่าจะไม่มีประโยชน์อะไรเลยในชีวิตจริง แต่ปัญหาส่วนใหญ่ที่ถูกนำมาใช้อย่างมากในงานอุตสาหกรรมและการคำนวณต่างๆ ก็เป็นปัญหาในกลุ่มเอ็นพีเช่นกัน ตัวอย่างเช่น ปัญหาการออกแบบเครือข่ายเพื่อให้ราคาถูกที่สุด ปัญหาการหาเส้นทางเดินครบรอบที่ประหยัดที่สุด ปัญหาการแบ่งและจัดลำดับการทำงานสำหรับคอมพิวเตอร์ ฯลฯ ทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ
สำหรับหลักการของ ความบริบูรณ์นั้น เราจะกล่าวว่าเซต X บริบูรณ์ สำหรับเซต Y เมื่อ: ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส
ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส กล่าวว่าอนุพันธ์ และปริพันธ์ ซึ่งเป็นการดำเนินการหลักในแคลคูลัสนั้นผกผันกัน ซึ่งหมายความว่าถ้านำฟังก์ชันต่อเนื่องใดๆมาหาปริพันธ์ แล้วนำมาหาอนุพันธ์ เราจะได้ฟังก์ชันเดิม ทฤษฎีบทนี้เหมือนว่าเป็นหัวใจสำคัญของแคลคูลัสที่นับได้ว่าเป็นทฤษฎีบทมูลฐานของทั้งสาขานี้ ผลต่อเนื่องที่สำคัญของทฤษฎีบทนี้ ซึ่งบางทีเรียกว่าทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสบทที่สองนั้นทำให้เราสามารถคำนวณหาปริพันธ์โดยใช้ปฏิยานุพันธ์ ของฟังก์ชัน ทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ
ปัญหาที่สำคัญที่สุดในด้านทฤษฎีการคำนวณก็คือปัญหาที่ว่ากลุ่มความซับซ้อนของปัญหาพี และ เอ็นพี เป็นเซตที่เท่ากันหรือไม่ ซึ่งทาง Clay Mathematics Institute ได้ตั้งรางวัลไว้สำหรับผู้ที่แก้ปัญหานี้ได้เป็นมูลค่าสูงถึง หนึ่งล้านดอลลาร์ (ดูรายละเอียดของปัญหาได้ใน กลุ่มความซับซ้อน พี และ เอ็นพี และ เครื่องจักรออราเคิล) คณิตศาสตร์เชิงการจัด
คณิตศาสตร์เชิงการจัด () คือสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ ที่ศึกษากลุ่มของวัตถุจำนวนจำกัดที่มีคุณสมบัติสอดคล้องกับเงื่อนไขบางประการ และมักสนใจเป็นพิเศษที่จะ "นับ" จำนวนวัตถุในกลุ่มนั้น ๆ ("ปัญหาการแจกแจง") หรืออาจหาคำตอบว่า วัตถุที่มีคุณสมบัติที่ต้องการนั้นมีอยู่หรือไม่ ("ปัญหาสุดขอบ") การศึกษาเกี่ยวกับการนับวัตถุ บางครั้งถูกจัดให้อยู่ในสาขาการแจกแจงแทน วิศวกรรมศาสตร์
ในกรีกโบราณ กลไกอันติคือเธราเป็นเครื่องคำนวณเครื่องแรกในประวัติศาสตร์[6] หรือสิ่งประดิษฐ์ของอาร์คิมิดีสซึ่งเรียกได้ว่าเป็นตัวอย่างของงานทางวิศวกรรมเครื่องกลยุคโบราณ งานบางชิ้นของอาร์คิมิดิส และ กลไกแอนทิกิธีรา ต้องใช้ความเข้าใจอย่างลึกซึ้งในหลักการของเฟืองทดหรือเฟืองแพลนเน็ททอรี[7] ซึ่งเป็นสองกุญแจสำคัญในทฤษฎีจักรกลเพื่อใช้ในการออกแบบระบบเฟืองในยุคปฏิวัติอุตสาหกรรมและยังคงใช้อย่างกว้างขวางในหลายๆสาขางานทางวิศวกรรมเครื่องกลเช่นหุ่นยนต์และวิศวกรรมยานยนต์[7] สาขาของคณิตศาสตร์
สาขาของคณิตศาสตร์ แบ่งตาม 2000 Mathematics Subject Classification (MSC2000) ความลำบากใจของนักโทษ
ความลำบากใจของนักโทษ () เป็นปัญหาพื้นฐานในทฤษฎีเกมซึ่งแสดงให้เห็นว่าเหตุใดคนสองคนจึงอาจไม่ร่วมมือกันแม้ว่าทั้งสองจะได้รับผลประโยชน์มากที่สุดในการร่วมมือกันนั้น เดิมปัญหาดังกล่าวคิดขึ้นโดยเมอร์ริลล์ ฟลัด และเมลวิน เดรชเชอร์ ซึ่งกำลังทำงานอยู่ที่ RAND ในปี ค.ศ. 1950 อัลเบิร์ต ดับเบิลยู. ทักเกอร์ทำให้เกมดังกล่าวเป็นระเบียบแบบแผนด้วยการกำหนดโทษจำคุกและให้ชื่อว่า "ความลำบากใจของนักโทษ" การคำนวณเชิงอารมณ์
การคำนวณเชิงอารมณ์ () เป็นการศึกษาว่าด้วยการพัฒนาระบบและอุปกรณ์ที่สามารถรู้จำ แปรผล ประมวลผล และจำลองอารมณ์ของมนุษย์ได้ เป็นสหสาขาที่ผสมผสานกันระหว่างวิทยาการคอมพิวเตอร์ จิตวิทยา และประชานศาสตร์ สาขาการคำนวณเชิงอารมณ์สมัยใหม่นี้เริ่มจากคำนิยามของ โรซาไลนด์ พิการ์ด นักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ที่สถาบันเทคโนโลยีแมสซาชูเซตส์ที่เริ่มใช้คำนี้ในผลงานวิจัยปี ค.ศ. 1995 เกี่ยวกับการคำนวณเชิงอารมณ์ แรงบันดาลใจของงานวิจัยสายนี้คือความต้องการที่จะจำลองความเข้าใจความรู้สึกของคนอื่นของมนุษย์ ต้องการมีเครื่องจักรที่สามารถแปลผลสถานะของอารมณ์ของมนุษย์และปรับเปลี่ยนพฤติกรรมให้ตอบสนองกับอารมณ์นั้นๆของมนุษย์อย่างเหมาะสม การคิดวิเคราะห์
การคิดวิเคราะห์</b>คือการเก็บเกี่ยวทักษะเชิงวิเคราะห์ที่จะช่วยให้นิสิตนักศึกษามีความสามารถในการแก้แนวคิดหรือปัญหาต่าง ๆ ที่ซับซ้อนได้ ประสาทสัมพันธ์แห่งการรับรู้อารมณ์
ความสมบูรณ์ของการรับรู้อารมณ์ดูเหมือนว่า จะเพิ่มพูนไปตามลำดับเริ่มจากการหลับสนิท สู่การง่วงนอน สู่การตื่นตัวอย่างเต็มที่ ซึ่งสามารถบ่งปริมาณได้โดยใช้ภาษาจากทฤษฎีวัดความซับซ้อน (complexity theory) ที่บ่งทั้งมิติและระดับความละเอียดของการรับรู้อารมณ์ ที่นำไปสู่คำอธิบายแบบเบ็ดเสร็จ รวบรวมทั้งข้อมูลและทฤษฎีของการรับรู้อารมณ์[15] เมื่อความตื่นตัวทางพฤติกรรมมีเพิ่มมากขึ้น ทั้งความหลากหลายและความซับซ้อนของพฤติกรรมที่เป็นไปได้ก็มีเพิ่มขึ้นเช่นกัน ถึงอย่างนั้น ในการหลับฝัน บุคคลนั้นขาดความตึงตัวแห่งกล้ามเนื้ออันเป็นลักษณะเฉพาะของการหลับฝัน มีความตื่นตัวต่ำในประสาทสั่งการ (motor) และกล้ามเนื้อ และประสบความลำบากที่จะตื่นขึ้น แม้ว่าสมองจะมีค่าเมแทบอลิซึมและค่าไฟฟ้าสูง และมีการรับรู้อารมณ์ที่แจ่มชัด กลุ่มความซับซ้อน
หน้านี้ประกอบด้วยกลุ่มความซับซ้อนที่สำคัญทั้งหมดในด้านของทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ เศรษฐศาสตร์ธุรกิจ
เศรษฐศาสตร์ธุรกิจ หรือ เศรษฐศาสตร์พาณิชย์ () เป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎีทางเศรษฐศาสตร์ที่มุ่งเน้นไปยังหน่วยธุรกิจ และวิเคราะห์ไปยังส่วนต่างๆขององค์กรที่หลากหลาย รวมถึงการสร้างสายสัมพันธ์อันดีกับกลุ่มแรงงาน, ส่วนกลาง และผลิตผลทางการตลาด คณิตศาสตร์
คณิตศาสตร์ เป็นศาสตร์ที่มุ่งค้นคว้าเกี่ยวกับโครงสร้างนามธรรมที่ถูกกำหนดขึ้นผ่านทางกลุ่มของสัจพจน์ซึ่งมีการให้เหตุผลที่แน่นอนโดยใช้ตรรกศาสตร์สัญลักษณ์ และสัญกรณ์คณิตศาสตร์ เรามักนิยามโดยทั่วไปว่าคณิตศาสตร์เป็นสาขาวิชาที่ศึกษาเกี่ยวกับรูปแบบและโครงสร้าง, การเปลี่ยนแปลง และปริภูมิ กล่าวคร่าว ๆ ได้ว่าคณิตศาสตร์นั้นสนใจ "รูปร่างและจำนวน" เนื่องจากคณิตศาสตร์มิได้สร้างความรู้ผ่านกระบวนการทดลอง บางคนจึงไม่จัดว่าคณิตศาสตร์เป็นสาขาของวิทยาศาสตร์ ทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ
ตัวอย่าง: การตัดหญ้าในสวนใช้เวลาในการทำงานเป็นเชิงเส้น เพราะว่าถ้าสนามหญ้าใหญ่กว่าเดิมเท่าตัว เราก็ต้องใช้เวลาในการตัดหญ้ามากขึ้นเป็นเท่าตัว แต่สำหรับการเปิดหาคำศัพท์ในพจนานุกรมนั้น เวลาที่ใช้ในการทำงานจะเป็นลอการิทึมของขนาดข้อมูลป้อนเข้า เพราะว่าสำหรับพจนานุกรมที่มีขนาดเพิ่มเป็นเท่าตัว เราทำงานเพิ่มขึ้นเพียงหนึ่งขั้นตอน (เปิดพจนานุกรมไปตรงกลางแล้วตรวจสอบว่าคำศัพท์ที่เรากำลังมองหาอยู่ในฝั่งใดของพจนานุกรม ซึ่งวิธีนี้จะลดขนาดของปัญหาลงครึ่งหนึ่งทุกครั้งที่มีการเปิดพจนานุกรม) ขั้นตอนวิธีแบ่งแยกและเอาชนะ
ในตัวอย่างทั้งหมดที่กล่าวมา ขั้นตอนวิธีแบ่งแยกและเอาชนะช่วยในการลดความซับซ้อนในการคำนวณได้อย่างมีนัยยะสำคัญ ยกตัวอย่างเช่นการเรียงลำดับแบบผสาน ซึ่งคำนวณกรณีฐานได้ในเวลาคงที่ และการแบ่งและรวมปัญหาในแต่ละครั้งใช้เวลา formula_2 เมื่อ "n" คือขนาดปัญหาที่กำลังแก้ในขณะนั้น จะได้ว่าประสิทธิภาพโดยรวมของขั้นตอนวิธี คือ formula_3 ซึ่งดีกว่าการเรียงลำดับแบบอื่น ๆ ที่คิดค้นขึ้นมาก่อนหน้านั้น ซึ่งส่วนใหญ่จะใช้เวลา formula_4 ปัญหาการตัดสินใจ
การพิจารณาว่าปัญหาการตัดสินใจหนึ่งๆ เป็นปัญหาที่มีความซับซ้อนอย่างไรเมื่อเทียบกับปัญหาการตัดสินใจอื่นๆ เป็นประเด็นที่สำคัญในทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ ทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ จึงได้นิยามศัพท์คำว่าความบริบูรณ์ของปัญหา โดยนิยามว่า ทฤษฎีจำนวน
ปัญหาบางอย่างในสาขานี้ดูแล้วเหมือนกับว่าจะง่าย แต่แท้จริงแล้วต้องใช้ความเข้าใจอย่างมากในการแก้ปัญหา เช่น ทฤษฎีการคำนวณ
การศึกษาเกี่ยวกับ ทฤษฎีการคำนวณ เริ่มขึ้นเมื่อต้นศตวรรษที่ยี่สิบ ก่อนจะมีการคิดค้นคอมพิวเตอร์อิเล็กทรอนิกส์ขึ้น วิศวกรรมเครื่องกล
วิศวกรรมเครื่องกล () เป็นวิชาเกี่ยวกับการประยุกต์ใช้คณิตศาสตร์และกฎทางฟิสิกส์เพื่อการประดิษฐ์ การผลิต และการดูแลรักษาระบบเชิงกล วิศวกรรมเครื่องกลเป็นหนึ่งในสาขาทางวิศวกรรมที่เก่าแก่ที่สุดและมีขอบข่ายกว้างขวางที่สุด ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส
มีทฤษฎีบทหนึ่งสำหรับฟังก์ชันเชิงซ้อน: ให้ formula_69 เป็นเซตเปิดใน formula_70 และ formula_71 เป็นฟังก์ชันที่มี ปริพันธ์โฮโลมอร์ฟ formula_65 ใน formula_69 ดังนั้นสำหรับเส้นโค้ง formula_74 ปริพันธ์เส้นโค้งจะคำนวณได้จาก จำนวนเชิงซ้อน
นอกจากนี้ ในทางคณิตศาสตร์แล้วคำว่า "เชิงซ้อน" ถูกใช้เป็นคำคุณศัพท์ที่มีความหมายว่าฟีลด์ของตัวเลขที่เราสนใจคือฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน ยกตัวอย่างเช่น การวิเคราะห์เชิงซ้อน, พหุนามเชิงซ้อน, แมทริกซ์เชิงซ้อน, และพีชคณิตลีเชิงซ้อน เป็นต้น ตะแกรงกำลังสอง
ขั้นตอนวิธีตะแกรงกำลังสอง () เป็นหนึ่งในขั้นตอนวิธีในการแยกตัวประกอบของจำนวนเต็มให้อยู่ในรูปของผลคูณของเลขยกกำลังของจำนวนเฉพาะซึ่งยังเป็นสิ่งที่น่าสนใจเนื่องจากมีการนำไปใช้ในการเข้ารหัส (โดยถ้าใช้บางขั้นตอนวิธีอาจจะต้องใช้เวลามากกว่าอายุของจักรวาลเสียอีก) Carl Pomerance เป็นผู้ค้นพบขั้นตอนวิธีนี้ในปี ค.ศ. 1981 จากการปรับขั้นตอนวิธีตะแกรงเชิงเส้นของชโรโพล (Schroeppel's linear sieve) ซึ่งใช้ในการแก้ปัญหาเดียวกัน โดยเป็นขั้นตอนวิธีที่สามารถแยกตัวประกอบได้เร็วที่สุดสำหรับจำนวนเต็มที่มีจำนวนหลักน้อยกว่าเท่ากับ 100 หลัก แต่ในกรณีถัวเฉลี่ยของจำนวนเต็มใดๆ นั้นจะพบว่า ขั้นตอนวิธีดังกล่าวเป็นขั้นตอนวิธีที่สามารถแยกตัวประกอบได้เร็วเป็นอันดับสองรองจากตะแกรงของเขตข้อมูลจำนวนเต็มทั่วไป (general number field sieve) ซึ่งจะพบว่าขั้นตอนวิธีแบบตะแกรงกำลังสองนั้นสามารถเข้าใจได้ง่าย เวลาที่ใช้ในการคำนวณนั้นขึ้นอยู่กับขนาดของจำนวนเต็มที่จะนำมาแยกตัวประกอบ โดยไม่ขึ้นกับโครงสร้างและคุณสมบัติของตัวเลขมากนัก ทฤษฎีจำนวน
เป็นสาขาหนึ่งของทฤษฎีจำนวนที่ศึกษาจำนวนโดยไม่ได้ใช้ความรู้ชั้นสูงจากสาขาอื่นเลย ปัญหาที่สาขานี้สนใจส่วนใหญ่แล้วจะเกี่ยวกับสมบัติที่น่าสนใจต่างๆของจำนวน เช่น การหารลงตัว(divisibility) การแยกตัวประกอบเฉพาะ (prime factorization) และ จำนวนสมบูรณ์ (perfect number) เป็นต้น แม้ว่าสาขานี้จะใช้เพียงความรู้พื้นฐานของคณิตศาสตร์ในการทำวิจัย ผลงานในสาขานี้หลายอย่างมีประโยชน์อย่างมากในทางปฏิบัติเช่น ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน (Chinese Remainder Theorem) ทฤษฎีบทเล็กของแฟร์มาต์ (Fermat's little theorem) ทฤษฎีบทของออยเลอร์ (Euler's theorem) ถูกนำไปใช้ในงานวิจัยด้าน ทฤษฎีพื้นฐานของการเข้ารหัส พลศาสตร์ของไหลเชิงคณนา
พลศาสตร์ของไหลเชิงคำนวณ (CFD ซี่งย่อมาจาก Computational Fluid Dynamics) คือสาขาหนึ่งในกลศาสตร์ของไหลที่ใช้กระบวนการเชิงตัวเลขและขั้นตอนวิธี (algorithm) ในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับการไหลของของไหล เพื่อการนี้ คอมพิวเตอร์จะถูกนำมาใช้เพื่อทำการคำนวณนับล้านๆครั้ง ก่อนที่จะสร้างแบบจำลองการทำปริกิริยาของของไหลและก๊าซต่อขอบผิวซึ่งกำหนดโดยสภาวะของขอบเขต แต่ทว่า ผลลัพธ์ที่ได้นั้นก็ยังเป็นเพียงการประมาณการณ์ที่ได้จากในหลายๆกรณีเท่านั้นถึงแม้ว่าจะใช้ซูเปอร์คอมพิวเตอร์ความเร็วสูงในการคำนวณก็ตาม อย่างไรก็ตาม การพัฒนาของโปรแกรมนี้ในปัจจุบัน ความแม่นยำและความเร็วในการคำนวณสถานะการณ์ที่ซับซ้อนนั้นได้รับการปรับปรุงให้ดีขึ้นเรื่อยๆ เช่นการจำลองการไหลแบบ หรือ Transonic โปรแกรมนี้แต่เดิมถูกนำมาใช้กับการจำลองกังหันลม แต่ปัจจุบันถูกนำมาใช้ในการทดสอบการบินด้วย ทฤษฎีระบบควบคุม
ทฤษฎีระบบควบคุม (English: control theory) เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์และวิศวกรรมศาสตร์ ในที่นี้ การควบคุมหมายถึง การควบคุมระบบพลศาสตร์ ให้มีค่าเอาต์พุตที่ต้องการ โดยการป้อนค่าอินพุตที่เหมาะสมให้กับระบบ ตัวอย่างที่เห็นได้ทั่วไป เช่น ระบบควบคุมอุณหภูมิห้องของเครื่องปรับอากาศ หรือ แม้แต่ลูกลอยในโถส้วม ที่เปิดน้ำปิดน้ำโดยอัตโนมัติเมื่อน้ำหมดและน้ำเต็ม สัญกรณ์โอใหญ่
ในวิชาทฤษฎีความซับซ้อนและคณิตศาสตร์ สัญกรณ์โอใหญ่ () เป็นสัญกรณ์คณิตศาสตร์ที่ใช้บรรยายพฤติกรรมเชิงเส้นกำกับของฟังก์ชัน โดยระบุเป็นขนาด (magnitude) ของฟังก์ชันในพจน์ของฟังก์ชันอื่นที่โดยทั่วไปซับซ้อนน้อยกว่า สัญกรณ์โอใหญ่เป็นหนึ่งในสัญกรณ์เชิงเส้นกำกับ หรืออาจเรียกว่า สัญกรณ์ของลันเดา หรือ สัญกรณ์ของบัคแมนน์-ลันเดา (ตั้งชื่อตามเอ็ดมุนด์ ลานเดาและเพาล์ บาคมันน์) สัญกรณ์โอใหญ่ใช้ในการเขียนเพื่อประมาณพจน์ในคณิตศาสตร์ ประยุกต์ใช้ในวิทยาการคอมพิวเตอร์เพื่อใช้อธิบายความเร็วประมาณในการทำงานของโปรแกรมในกรณีต้องประมวลผลข้อมูลจำนวนมาก และใช้เพื่ออธิบายประสิทธิภาพของขั้นตอนวิธีหรือโครงสร้างข้อมูลนั้น ๆ ปัญหาการตัดสินใจ
การพิจารณาว่าปัญหาการตัดสินใจหนึ่งๆ เป็นปัญหาที่แก้ได้หรือไม่เป็นประเด็นที่สำคัญในทฤษฎีการคำนวณได้ ทฤษฎีการคำนวณได้ จึงได้นิยามศัพท์คำว่า การตัดสินได้ และ การรับรองได้ โดยนิยามไว้ดังนี้
จะสังเกตเห็นว่า ปัญหาที่ตัดสินได้ย่อมเป็นปัญหาที่รับรองได้ไปด้วยและปัญหาที่ตัดสินไม่ได้อาจเป็นปัญหาที่รับรองได้ก็ได้ ยกตัวอย่างปัญหาที่ตัดสินไม่ได้แต่รับรองได้เช่น ปัญหาการยุติการทำงาน เป็นต้น  ทฤษฎีความซับซ้อนในการคำนวณ
ค่อนข้างจะชัดเจนว่าเนื้อที่ที่ใช้ในการแก้ปัญหา FACTORIZE จะไม่มากไปกว่าเนื้อที่ที่ใช้ในการแก้ปัญหา HAS-FACTOR นัก (สำหรับค่า k {\displaystyle k} แต่ละค่าเราสามารถคืนหน่วยความจำที่ใช้ในการทำงานของค่า k {\displaystyle k} ก่อนหน้าได้) สำหรับเวลาที่ใช้ก็เช่นกัน ในการหาตัวประกอบแต่ละตัวเราจะเรียกใช้ HAS-FACTOR ไม่เกิน log ⁡ ( n ) {\displaystyle \log(n)} ครั้ง และจำนวนของตัวประกอบเฉพาะของ n {\displaystyle n} ที่เป็นไปได้ก็ไม่เกิน log ⁡ ( n ) {\displaystyle \log(n)} จำนวน เศรษฐศาสตร์จุลภาค
จุดประสงค์หนึ่งของเศรษฐศาสตร์จุลภาคคือการวิเคราะห์กลไกตลาดซึ่งเป็นตัวกำหนดราคาเปรียบเทียบระหว่างสินค้าและบริการ และการจัดสรรทรัพยากรที่มีอยู่จำกัดเพื่อใช้ในทางเลือกต่าง ๆ เศรษฐศาสตร์จุลภาคศึกษาเกี่ยวกับความล้มเหลวของตลาด ซึ่งเป็นสถานการณ์ที่กลไกตลาดไม่สามารถทำให้เกิดผลที่มีประสิทธิภาพได้ และยังอธิบายเกี่ยวกับข้อแม้ทางทฤษฎีที่จำเป็นต่อการเกิดการแข่งขันสมบูรณ์ สาขาที่สำคัญในเศรษฐศาสตร์จุลภาค เช่นดุลยภาพทั่วไป ตลาดภายใต้ความไม่สมมาตรของข้อมูล การตัดสินใจภายใต้ความไม่แน่นอน และการประยุกต์ใช้ทฤษฎีเกมในทางเศรษฐศาสตร์  ทฤษฎีการคำนวณได้
ตารางแสดงความสัมพันธ์ระหว่างกลุ่มของปัญหา สามารถดูได้ในบทความเกี่ยวกับทฤษฎีการคำนวณ ทฤษฎีจำนวน
ทฤษฎีจำนวน () โดยธรรมเนียมเดิมเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ ซึ่งศึกษาเกี่ยวกับคุณสมบัติของจำนวนเต็ม สาขานี้มีผลงานและปัญหาเปิดมากมายที่สามารถเข้าใจได้ง่าย แม้กระทั่งผู้ที่ไม่ใช่นักคณิตศาสตร์ แต่ในปัจจุบัน สาขานี้ยังได้สนใจกลุ่มของปัญหาที่กว้างขึ้น ซึ่งมักเป็นปัญหาที่ต่อยอดมาจากการศึกษาจำนวนเต็ม นักคณิตศาสตร์ที่ศึกษาสาขานี้เรียกว่า นักทฤษฎีจำนวน แคลคูลัส
ทั้งสองแนวคิดที่กำเนิดจากปัญหาที่ต่างกันกลับมีความสัมพันธ์กันลึกซึ้ง โดยทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสกล่าวว่า แท้จริงแล้วทฤษฎีทั้งสองเปรียบเสมือนเป็นด้านทั้งสองของเหรียญอันเดียวกัน นั่นคือเป็นสิ่งเดียวกันเพียงแต่มองคนละมุมเท่านั้น (โดยคร่าว ๆ เรากล่าวได้ว่าอนุพันธ์และปริพันธ์เป็นฟังก์ชันผกผันของกันและกัน). ในการสอนแคลคูลัสเพื่อความเข้าใจตัวทฤษฎีอย่างลึกซึ้ง ควรกล่าวถึงทั้งสองทฤษฎีและความสัมพันธ์นี้ก่อน แต่การศึกษาในปัจจุบันมักจะกล่าวถึงแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ก่อนเพียงอย่างเดียว เนื่องจากนำไปใช้งานได้ง่ายกว่า คณิตตรรกศาสตร์
แม้ว่าคนทั่วไปมักมีความเข้าใจว่า คณิตตรรกศาสตร์คือ "ตรรกศาสตร์ของคณิตศาสตร์" แต่ความจริงแล้วสาขานี้ใกล้เคียงกับ "คณิตศาสตร์ของตรรกศาสตร์" มากกว่า เนื้อหาวิชาในสาขานี้ครอบคลุมส่วนของตรรกศาสตร์ที่สามารถโมเดลในรูปของคณิตศาสตร์ได้ เมื่อก่อนสาขานี้ถูกเรียกว่า "ตรรกศาสตร์สัญลักษณ์" (ในลักษณะที่ตรงข้ามกับตรรกศาสตร์เชิงปรัชญา) และอภิคณิตศาสตร์ ซึ่งในปัจจุบันเป็นเพียงคำที่ใช้ในบางสาขาของทฤษฎีบทพิสูจน์ เอ็นพี (ความซับซ้อน)
กลุ่มของปัญหาที่สำคัญเป็นอย่างมากในกลุ่มของเอ็นพีก็คือ เอ็นพีบริบูรณ์ ซึ่งมักจะถูกเรียกว่าเป็นกลุ่มของปํญหาที่ยากที่สุดในเอ็นพี เนื่องมาจากว่า การแก้ปัญหาเอ็นพีบริบูรณ์ได้อย่างมีประสิทธิภาพ ส่งผลให้เราสามารถแก้ปัญหาทั้งหมดในกลุ่มของเอ็นพีได้อย่างมีประสิทธิภาพด้วย ในปัจจุบัน หากปัญหาใดถูกจัดอยู่ในกลุ่ม เอ็นพีบริบูรณ์ นักวิจัยจะเลิกล้มความคิดที่จะหาคำตอบของปํญหานั้น (อย่างมีประสิทธิภาพ) ทันที โดยมักเปลี่ยนเป้าหมายไปที่การหาขั้นตอนวิธีแบบประมาณแทน อันเดรย์ คอลโมโกรอฟ
อันเดรย์ นิโคลาเยวิช คอลโมโกรอฟ (รัสเซีย: Андре́й Никола́евич Колмого́ров; อังกฤษ: Andrey Nikolaevich Kolmogorov), เกิดเมื่อวันที่ 25 เมษายน ค.ศ. 1903 เสียชีวิต 20 ตุลาคม ค.ศ. 1987, เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย ยักษ์ใหญ่ในวงการคณิตศาสตร์ในคริสต์ศตวรรษที่ 20 โดยมีผลงานโดดเด่นมากในงาน ทฤษฎีความน่าจะเป็นและทอพอโลยี. อันที่จริงแล้ว คอลโมโกรอฟมีผลงานในแทบทุกแขนงของคณิตศาสตร์ เช่น ตรรกศาสตร์, อนุกรมฟูรีเย, ความปั่นป่วน (turbulence), กลศาสตร์คลาสสิก นอกจากนี้ยังเป็นหนึ่งในผู้คิดค้น ความซับซ้อนแบบคอลโมโกรอฟ ร่วมกับ เกรโกรี ไชตัง และ เรย์ โซโลโมนอฟ ในช่วงช่วงปี ค.ศ. 1960 ถึง ค.ศ. 1970. กลุ่มความซับซ้อน พี และ เอ็นพี
กลุ่มของปัญหาที่อยู่ในเอ็นพีที่มีความสำคัญและได้รับความสนใจมากที่สุดก็คือกลุ่มของ เอ็นพีบริบูรณ์ ซึ่งเป็นกลุ่มของปัญหาที่ไม่น่าจะอยู่ใน พี มากที่สุด ความสัมพันธ์ของ พี เอ็นพี และ เอ็นพีบริบูรณ์ ที่นักวิจัยเชื่อกันเป็นไปตามรูป ซึ่งจะเห็นได้ว่า ทั้งพีและเอ็นพีบริบูรณ์อยู่ภายใน เอ็นพี แต่ว่าเอ็นพีบริบูรณ์กับพีไม่มีส่วนที่ซ้อนทับกันเลย อีกทั้งยังมีเซ็ตบางเซ็ตที่อยู่ในเอ็นพีแต่อยู่นอกพีและเอ็นพีบริบูรณ์ ปัญหารางวัลมิลเลนเนียม
หากกลุ่มความซับซ้อนพีเท่ากับกลุ่มความซับซ้อนเอ็นพี ปัญหาใดที่ "ตรวจสอบ" คำตอบได้ในเวลาพหุนาม จะสามารถ "ค้นหา" คำตอบได้ในเวลาพหุนามไปด้วย ทำให้การ "ค้นหา" ซึ่งเป็นปัญหาสำคัญทางวิทยาการคอมพิวเตอร์ สามารถทำได้รวดเร็วมากขึ้น และถึงแม้พิสูจน์ได้ว่ากลุ่มความซับซ้อนพีไม่เท่ากับกลุ่มความซับซ้อนเอ็นพี นักคณิตศาสตร์ และวิทยาการคอมพิวเตอร์ก็จะเข้าใจรายละเอียดของการ "ตรวจสอบ" และการ "ค้นหา" มากขึ้น และทำให้เข้าใจปัญหาทางคณิตศาสตร์ ชีววิทยา ปรัชญา และปัญหาวิทยาการรหัสลับได้อย่างลึกซึ้งขึ้น สมการเชิงอนุพันธ์
เป็นรูปแบบสมการหนึ่งในคณิตศาสตร์ เป็นพื้นฐานที่สำคัญในสาขาคณิตศาสตร์ประยุกต์ ในทางวิศวกรรมศาสตร์ และวิทยาศาสตร์ เพราะว่ากฎเกณฑ์และปัญหาต่างๆ ในสาขาวิขาเหล่านี้ล้วนพิจารณาเป็นสมการคณิตศาสตร์ที่อยู่ในรูปของสมการเชิงอนุพันธ์แทบทั้งสิ้น เช่นกฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน ปัญหาของการนำความร้อนในแท่งโลหะ การหาปะจุหรือกระแสในวงจรไฟฟ้า เหล่านี้เป็นต้น ภาษาศาสตร์คอมพิวเตอร์
ภาษาศาสตร์คอมพิวเตอร์ หรือ ภาษาศาสตร์เชิงคำนวณ () เป็นสหวิทยาการที่ว่าด้วยการสร้างแบบจำลองเชิงตรรกะของภาษาธรรมชาติ จากมุมมองในเชิงคำนวณ แบบจำลองนี้ ไม่ได้จำกัดอยู่แค่ในสาขาในสาขาหนึ่งของภาษาศาสตร์ กรุป (คณิตศาสตร์)
หลายสิ่งที่ศึกษากันในคณิตศาสตร์เป็นกรุป รวมไปถึงระบบจำนวนที่คุ้นเคย เช่น จำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะ จำนวนจริง และจำนวนเชิงซ้อน ภายใต้การบวก เช่นเดียวกับจำนวนตรรกยะ จำนวนจริง และจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่ใช่ศูนย์ ภายใต้การคูณ ตัวอย่างที่สำคัญอีกตัวอย่างหนึ่งคือ เมทริกซ์ไม่เอกฐาน ภายใต้การคูณ และฟังก์ชันที่หาฟังก์ชันผกผันได้ ภายใต้ การประกอบฟังก์ชัน ทฤษฎีกรุปรองรับคุณสมบัติของระบบเหล่านี้และระบบอื่นๆอีกมากมายในรูปแบบทั่วไป ผลลัพธ์ยังสามารถประยุกต์ได้หลากหลาย ทฤษฎีกรุปยังเต็มไปด้วยทฤษฎีบทในตัวมันเองอีกมากเช่นกัน ความน่าจะเป็น
มโนทัศน์เหล่านี้มาจากการแปลงคณิตศาสตร์เชิงสัจพจน์ในทฤษฎีความน่าจะเป็น ซึ่งใช้กันอย่างแพร่หลายในขอบเขตการศึกษาต่าง ๆ เช่น คณิตศาสตร์ สถิติศาสตร์ การเงิน การพนัน วิทยาศาสตร์ ปัญญาประดิษฐ์/การเรียนรู้ของเครื่อง และปรัชญา เพื่อร่างข้อสรุปเกี่ยวกับความถี่ที่คาดหวังของเหตุการณ์ต่าง ๆ เป็นอาทิ ทฤษฎีความน่าจะเป็นก็ยังนำมาใช้เพื่ออธิบายกลไกรากฐานและความสม่ำเสมอของระบบซับซ้อน ตรรกศาสตร์คลุมเครือ
การดำเนินการทางตรรก เช่น AND(และ) OR(หรือ) NOT(ไม่) นั้นก็มีใช้สำหรับตรรกศาสตร์คลุมเครือ สำหรับการสร้างเงื่อนไขของเหตุการณ์ที่ซับซ้อน เช่นเดียวกับตรรกศาสตร์แบบฉบับ โดยปกติแล้วจะนิยาม AND=minimum OR=maximum และ NOT=complement ซึ่งการนิยามตามแบบนี้เรียกว่า ตัวดำเนินการซาเดห์ (Zadeh operator) เนื่องจากเป็นไปตามลักษณะนิยามที่ ซาเดห์ ใช้ในบทความดั้งเดิมของเขา ดังนั้นหากเรามีตัวแปรฟัซซี x และ y: คณิตศาสตร์การเงิน
วิศวกรรมการเงิน เป็นสาขาหนึ่งของพาณิชยศาสตร์และการบัญชี ที่ศึกษาทางด้านการเงิน โดยอาศัยเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ในการวิเคราะห์ โดยธรรมชาติแล้วจะมีความสัมพันธ์ใกล้ชิดกับเศรษฐศาสตร์การเงิน แต่วิศวกรรมการเงินนั้นแคบกว่าและมีลักษณะเป็นนามธรรมมากกว่า วิศวกรรมเครื่องกล
กลศาสตร์ คือการศึกษาแรงและผลกระทบของมันบนวัตถุ สำหรับกลศาสตร์วิศวกรรมแล้ว กลศาสตร์ถูกใช้เพื่อการวิเคราะห์และคำนวณความเร่งและการเปลี่ยนรูป (ทั้งบนวัสดุอีลาสติก และพลาสติก) บนวัสดุที่ทราบแรงที่เข้ากระทำ (หรือที่เรียกว่าภาระ) หรือทราบความเค้น สาขาย่อยของกลศาสตร์มีดังนี้
วิศวกรเครื่องกลมักจะใช้กลศาสตร์ในขั้นตอนการออบแบบและวิเคราะห์ ตัวอย่างเช่นในการออกแบบรถยนต์ สถิตยศาสตร์อาจจะถูกใช้ในการออกแบบโครงรถเพื่อหาว่าบริเวณใดท่ได้รับความเครียดสูงที่สุด พลศาสตร์อาจจะถูกใช้ในการออกแบบเครื่องยนต์เช่นคำนวณแรงในลูกสูบ ความแข็งแรงของวัสดุจะถูกใช้เพื่อการเลือกวัสดุที่มีความเหมาะสม ส่วนกลศาสตร์ของไหลอาจจะถูกใช้เพื่อการวิเคราะห์ระบบระบาบอากาศ หรือระบบดูดอากาศเข้าเครื่องยนต์ สมบัติการสลับที่
ในทฤษฎีกรุปและทฤษฎีเซต เราจะเรียกโครงสร้างเชิงพีชคณิตว่าเป็นโครงสร้างสลับที่ได้ (commutative) เมื่อมีตัวดำเนินการที่แน่นอนทำให้เกิดสมบัติการสลับที่ ในสาขาทางคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นไป เช่นคณิตวิเคราะห์หรือพีชคณิตเชิงเส้น สมบัติการสลับที่ของการดำเนินการที่รู้จักเป็นอย่างดี (อย่างการบวกและการคูณของจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อน) มักจะมีการใช้งานมาก (หรือสมมติขึ้นมา) ในการพิสูจน์ต่างๆ  ฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์
ฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ () เป็นสาขาวิชาฟิสิกส์ที่ใช้หลักการทางคณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหา โดยอาจแบ่งได้เป็น 2 ยุค คือยุคแรกหรือยุคคลาสสิก ฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ได้รับการคิดค้นเพื่อใช้แก้ปัญหาทางกลศาสตร์ ทฤษฎีไฟฟ้าแม่เหล็ก และอุณหพลศาสตร์เป็นต้น และฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ยุคหลังหรือยุคใหม่ได้รับการคิดค้นเพื่อแก้การปัญหาในส่วนกลศาสตร์ควอนตัม ทฤษฎีสัมพัทธภาพ รวมทั้งทฤษฎีสตริงและทฤษฎีแห่งสรรพสิ่ง นักคณิตศาสตร์ฟิสิกส์ที่มีชื่อเสียง ได้แก่ แบลซ ปัสกาล, ไอแซก นิวตัน, เลอ็อนฮาร์ท อ็อยเลอร์, โฌแซ็ฟ-หลุยส์ ลากร็องฌ์, ฌ็อง เลอ รง ดาล็องแบร์, อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์, เจมส์ คลาร์ก แมกซ์เวลล์, ลอร์ด เคลวิน, โจซิอาห์ วิลลาร์ด กิบส์, ดาวิท ฮิลเบิร์ท, อ็องรี ปวงกาเร, สตีเฟน ฮอว์กิง เป็นต้น